BÀI 1: KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

(15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu dạng phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trả lời:

• Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng: ax + by = c, (1)

Trong đó, a, b và c là các số đã biết (a khác 0 hoặc b khác 0)

• Nếu tại x = x₀ và y = y₀ ta có a. x₀ + b y₀ = c là một khẳng định đúng thì cặp số (x₀ ; y₀) được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Câu 2: Giả sử (x; y) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + 5y = 30. Em hãy hoàn thành bảng sau đây:

Trả lời:

Ta hoàn thành bảng như sau:

Câu 3: Em hãy biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn sau: x + 2y = 5

Trả lời:

Câu 4: Em hãy nêu khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trả lời:

1. Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c' được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:

2. Mỗi cặp số (x; y) được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ (*).

Câu 5: Em hãy cho biết, đâu không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn? Vì sao?

a) {2x+ y=10 x=5

b) {-5x- y=5,5 3x+7=5

c) {-x+y=2 0x+0y=5

Trả lời:

Hệ phương trình b và c không phải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vì:

• Hệ phương trình b, phương trình thứ 2 là 3x + 7 = 5,5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ phương trình c, phương trình thứ 2 là 0x + 0y = 5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Giải thích tại sao phương trình x − 2y = 3 có vô số nghiệm. Nêu một cặp nghiệm cụ thể của phương trình này.

Trả lời:

Phương trình x – 2y = 3 có dạng ax + by = c với a = 1, b = -2, c = 3. Với mỗi giá trị của x, ta sẽ tìm được một giá trị tương ứng của y sao cho phương trình luôn đúng. Vì vậy, phương trình này có vô số nghiệm. Ví dụ, khi x = 3, ta có:

3 – 2y = 3 => y = 0

Vậy cặp số (3; 0) là một nghiệm của phương trình

Câu 2: Hãy giải thích tại sao cặp số (2;−1) là nghiệm của phương trình x + 2y = 0

Trả lời:

Để kiểm tra xem (2; -1) có phải là nghiệm của phương trình x + 2y = 0 hay không, ta thay x = 2 và y = -1 vào phương trình:

2 + 2.(-1) = 2 – 2 = 0

Điều này đúng, nên cặp số (2; -1) là nghiệm của phương trình x + 2y = 0

Câu 3: Cho phương trình x + y = 4. Hãy xác định hai cặp số là nghiệm của phương trình và biểu diễn đồ thị của phương trình.

Trả lời:

Chúng ta có thể chọn giá trị cho x để tìm ra giá trị tương ứng của y sao cho tổng của x và y bằng 4. Ví dụ:

• Khi x = 0: y = 4; cặp nghiệm là (0; 4).
• Khi x = 4: y = 0; cặp nghiệm là (4; 0).

Biểu diễn đồ thị của phương trình:

Câu 4: Tại sao phương trình 0x + 0y = 5 không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?

Trả lời:

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c, trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Nhưng trong phương trình 0x + 0y = 5, cả a và b đều bằng 0. Vì vậy, phương trình này không có dạng bậc nhất hai ẩn và không có nghiệm nào thỏa mãn.

Câu 5: Cho hệ phương trình:

{x- y=1 2x+ y=4

Kiểm tra xem cặp số (1; 0) có phải là nghiệm của hệ phương trình hay không.

Trả lời:

Thay x = 1 và y = 0 vào từng phương trình của hệ:

• Với phương trình thứ nhất: 1 − 0 = 1 (đúng).
• Với phương trình thứ hai: 2.1+ 0 = 2 ≠ 4 (sai).

Vì (1; 0) không thỏa mãn cả hai phương trình, nên (1; 0) không phải là nghiệm của hệ phương trình.

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Giải phương trình và biểu diễn đồ thị các nghiệm của phương trình 2x − 3y = 6 trên mặt phẳng tọa độ.

Trả lời:

• Giải phương trình để tìm mối liên hệ giữa x và y. Ví dụ: y= 2x-63
• Chọn hai giá trị bất kỳ của x (hoặc y) để tìm hai cặp nghiệm
• Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm này trên mặt phẳng tọa độ

Câu 2: Một mô hình chữ nhật có chu vi là 24 cm. Nếu chiều dài hơn chiều rộng 2 cm, hãy lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Trả lời:

• Gọi chiều dài là x, chiều rộng là y.
• Lập phương trình từ điều kiện chu vi: 2(x+y) = 24 => x + y =12
• Lập phương trình từ điều kiện chiều dài hơn chiều rộng 2 cm: x = y + 2

Ta có hệ phương trình như sau:

{x+ y=12 x- y=2 }

• Giải hệ phương trình, ta được chiều dài x = 7 cm, chiều rộng y = 5 cm

Câu 3: Cho các cặp số (4; 2); (-3; 9); (2; 5) và hai phương trình:

2x – 5y = -2 (1)

x + y = 6 (2)

Trong những cặp số đã cho:

a) Cặp số nào là nghiệm của phương trình (2)?

b) Cặp số nào là nghiệm của phương trình (1) và phương trình (2)?

Trả lời:

a) Thay các cặp số vào phương trình (2), ta thấy cặp (-3; 9) thỏa mãn phương trình x + y = 6. Do vậy, cặp (-3; 9) là nghiệm của phương trình 2.

b) Thay x = 4; y =2 vào mỗi phương trình trong hệ, ta có:

2 . 4 – 5 . 2 = -2

4 + 2 = 6

Do đó, cặp số (4; 2) là nghiệm của từng phương trình trong hệ.

Vậy, cặp số (4; 2) là nghiệm của phương trình đã cho.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Một cửa hàng bán hai loại trái cây: táo và cam. Tổng cộng 20 quả được bán, trong đó số quả cam nhiều hơn số quả táo là 6 quả. Hãy viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y thể hiện mối quan hệ giữa các đại lượng.

Trả lời:

Gọi: x là số quả táo bán được; y là số quả cam bán được.

Theo đề bài:

• Tổng số quả táo và cam là 20 quả: x + y = 20
• Số quả cam nhiều hơn số quả táo là 6 quả: y = x + 6

Ta có hệ phương trình như sau:

{x+ y=20 -x+y=6

Câu 2: Một chiếc tàu di chuyển giữa hai thành phố trên một con sông. Khi xuôi dòng, vận tốc của tàu lớn hơn vận tốc ngược dòng là 4 km/h. Biết rằng vận tốc của dòng nước là 2 km/h, và thời gian đi xuôi dòng là 2 giờ, thời gian ngược dòng là 3 giờ. Hãy viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn thể hiện mỗi quan hệ giữa các đại lượng

Trả lời:

Gọi: v là vận tốc của tàu (không tính dòng nước); vận tốc của dòng nước là 2km/h

Khi xuôi dòng: vận tốc của tàu là v + 2, thời gian là 2 giờ

Khi ngược dòng: vận tốc của tàu là v – 2, thời gian là 3 giờ

Khoảng cách giữa hai thành số là s

Ta có: hệ phương trình sau:

{s=v+2 x 2 s=v-2x 3

{s-2v=4 s-3v= -6 }