BÀI 2: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

(16 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (6 CÂU)

Câu 1: Có bao nhiêu các giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn? Em hãy kể tên.

Trả lời:

Có 3 cách giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 2: Em hãy nêu cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

Trả lời:

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế như sau:

Bước 1: Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Câu 3: Em hãy nêu cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Lưu ý khi thực hiện phương pháp này là gì?

Trả lời:

Ta có thể giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.

Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Lưu ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách nhân hai về của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Câu 4: Trong phương pháp cộng đại số, tại sao cần nhân các phương trình với một số thích hợp?

Trả lời:

Nhân các phương trình với một số thích hợp để hệ số của một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, thuận lợi cho việc cộng hoặc trừ từng vế.

Câu 5: Khi giải hệ phương trình

Bằng phương pháp thế, bước đầu tiên nên làm gì?

Trả lời:

Từ phương trình x – 10y = -8, ta biểu diễn x theo y: x = 10y – 8.

Câu 6: Trong phương pháp cộng đại số, sau khi trừ hai phương trình dưới đây:

Ta nhận được phương trình gì?

Trả lời:

Sau khi trừ hai phương trình, ta nhận được phương trình: 23y = 23

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Nếu hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau hoặc đối nhau, phương pháp cộng đại số cần làm gì để tiếp tục?

Trả lời:

Nếu hệ số không bằng nhau hoặc đối nhau, cần nhân từng phương trình với một số thích hợp để tạo ra hai hệ số bằng nhau hoặc đối nhau, sau đó cộng hoặc trừ từng vế để loại bỏ một ẩn.

Câu 2: Cho hệ phương trình:

Sử dụng phương pháp thế để giải hệ. Giải thích tại sao phương pháp thế có thể áp dụng hiệu quả cho hệ phương trình này.

Trả lời:

• Biểu diễn x = 5 – y từ phương trình thứ nhất, rồi thế vào phương trình thứ hai:

(5 – y) – y = 1 => 5 – 2y = 1 => y = 2.

• Thay y = 2 vào x = 5 – y, ta được x = 3
• Hệ có nhiệm (3; 2)
• Phương pháp thế hiệu quả vì từ một phương trình, ta dễ dàng biểu diễn một ẩn theo ẩn kia mà không cần biến đổi phức tạp.

Câu 3: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

Trả lời:

Thế x – 2y = 1 bằng phương trình thứ nhất:

3(2y + 1) + 4y = 10 => 6y + 3 + 4y = 10 => 10y = 7

• y =

Thay y = vào x – 2y = 1:

x = 2 . + 1 = + 1 = =

Hệ có nghiệm (

Câu 4: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

Trả lời:

Cộng từng vế hai phương trình:

(5x + 3y) + (10x – 3y) = 12 + 18 => 15x = 30 => x = 2

Thay x = 2 vào phương trình thứ nhất:

5 . 2 + 3y = 12 => 10 + 3y = 12 => 3y = 2 => y =

Hệ có nghiệm (2; )

Câu 5: Giải thích và sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình:

Trả lời:

Trừ từng vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

(2x + y) – (x +y) = 13 – 8 => x = 5

Thay x = 5 vào phương trình thứ nhất: 5 + y = 8 => y = 3

Hệ có nghiệm (5; 3)

Nhận xét: Phương pháp cộng đại số phù hợp khi dễ dàng tạo ra các hệ số đối nhau, như ở đây y có cùng hệ số trong cả hai phương trình.

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Cho hệ phương trình

Hãy giải hệ phương trình trên với mỗi giá trị của m dưới đây:

a) m = 3

b) m = 2

c) m = 1

Trả lời:

a) m = 3 => hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế, ta được nghiệm của hệ là (

b) m = 2 => hệ phương trình:

⬄

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, ta được nghiệm của hệ là (

c) m = 1 => hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, ta được nghiệm của hệ là (

Câu 2: Một cửa hàng bán hai loại bánh: bánh A giá 5.000 đồng/chiếc và bánh B giá 10.000 đồng/chiếc. Một khách hàng mua 20 chiếc bánh hết tổng cộng 120.000 đồng. Phương trình của bài toán trên là:

Với số bánh A là x, số bánh B là y. Em hãy giải phương trình trên và cho biết người đó đã mua bao nhiêu chiếc bánh mỗi loại.

Trả lời:

Từ phương trình

Ta sử dụng phương pháp thế:

• Từ phương trình (1): x = 20 – y
• Thay vào phương trình (2): 5(20 – y) + 10y = 120 => y = 4
• => x = 16

Vậy, người khác đã mua 16 chiếc bánh A và 4 chiếc bánh B.

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi n = 2

b) Chứng minh rằng hệ phương trình vô nghiệm khi n = 6

Trả lời:

a) n = 2 => hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; )

b) Khi n = 6 => hệ phương trình trở thành:

Nhân phương trình (1) với 3, ta có:

Trừ phương trình (2) từ phương trình (1) mới, ta có: 0 = 2

Điều này là mâu thuẫn, do đó, hệ phương trình vô nghiệm khi n = 6.

Câu 2: Cho hệ phương trình

a) Tìm giá trị của p để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm giá trị của p để hệ phương trình vô nghiệm

Trả lời:

a) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của hệ phương trình phải khác 0. Hệ phương trình có dạng:

Ta tính định thức của hệ phương trình:

Vì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của p.

b) Vì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của p, nên không thể vô nghiệm cho bất kỳ giá trị nào của p.

Câu 3: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình khi n = 1

b) Chứng minh rằng hệ phương trình có vô số nghiệm khi n = 8

Trả lời:

a) Khi n = 1, hệ phương trình trở thành:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, ta có hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; )

b) Khi n = 8, hệ phương trình trở thành:

Nhân phương trình (1) với 2:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, ta có hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (; -)

Do vậy, hệ phương trình không thể có vô số nghiệm khi n = 8