BÀI 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

(13 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (3 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

Trả lời:

Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1. Lập hệ phương trình:

• Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

Bước 2. Giải hệ phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi kết luận.

Câu 2: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 500, biết rằng nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 3 và số dư là 20.

Trả lời:

Gọi hai số cần tìm là x và y, trong đó x < y. Số dư trong phép chia y cho x là 20 nên x > 20. Vậy điều kiện của hai ẩn x, y và 20 < x < y

Tổng hai số bằng 500 nên ta có phương trình x + y = 500

Khi chia y cho x ta được thương là 3, dư 20 nên ta có phương trình: y = 3x + 20

Do đó, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta được x = 120; y = 380.

Do thỏa mãn điều kiện nên hai số càn tìm là 120 và 380.

Câu 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số đó bằng 10, và nếu viết hai chữ số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.

Trả lời:

Gọi số cần tìm là n = 10a + b, trong đó a là chữ số hàng chục và b là chữ số hàng đơn vị.

Ta có điều kiện:

• Tổng của hai chữ số là 10, tức là: a + b = 10
• Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì số mưới là 10b + a, và theo bài toán, ta có: 10b + a = n + 18, tức là 10b + a = (10a +b) + 18

Ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trình bằng phương pháp thế, ta được a = 4; b = 6

Vậy số cần tìm là n = 10a + b = 10.4 + 6 = 46

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Tại sao khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, ta thường chọn hai ẩn để giải quyết bài toán?

Trả lời:

Việc chọn hai ẩn giúp ta biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng chưa biết một cách rõ ràng và đầy đủ. Hệ hai phương trình với hai ẩn cho phép chúng ta mô tả được hai điều kiện của bài toán, từ đó dễ dàng tìm ra các giá trị phù hợp của các ẩn số.

Câu 2: Nếu một bài toán cho biết tổng và hiệu của hai số, làm thế nào để lập hệ phương trình với hai ẩn cho bài toán đó?

Trả lời:

Gọi hai số cần tìm là x và y. Nếu tổng của hai số là S thì ta có phương trình x + y = S. Nếu hiệu của hai số là D thì ta có phương trình x – y = D. Hệ phương trình gồm hai phương trình này sẽ giúp ta giải được giá trị của x và y.

Câu 3: Hai thùng nước có tổng cộng 120 lít. Nếu chuyển 10 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai, thì thùng thứ hai có gấp đôi thùng thứ nhất. Tính lượng nước ban đầu trong mỗi thùng.

Trả lời:

Gọi lượng nước ban đầu trong thùng thứ nhất là x (lít) và thùng thứ hai là y (lít). Ta có hệ phương trình:

Giải hệ này, ta được x = 70 lít và y = 50 lít

Câu 4: Tổng số tuổi của hai anh em là 30 tuổi. Nếu 3 năm trước, tuổi của anh gấp 3 lần tuổi em thì hiện tại mỗi người bao nhiêu tuổi?

Trả lời:

Gọi tuổi hiện tại của anh là x và của em là y. Ta có hệ phương trình:

Giải hệ này, ta được x = 21 và y = 9. Vậy hiện tại, người anh 21 tuổi, người em 9 tuổi.

Câu 5: Một hình chữ nhật có chu vi 42 cm. Nếu tăng chiều dài thêm 5 cm và giảm chiều rộng đi 3 cm thì diện tích mới của hình chữ nhật là 130 cm². Tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.

Trả lời:

Gọi chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là x và y (cm). Ta có hệ phương trình:

Giải hệ này, ta được x = 13 và y = 8. Vậy chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 13 cm, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là 8 cm.

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình là 50 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, ô tô dừng lại nghỉ 30 phút rồi tiếp tục đi với vận tốc 60 km/h. Tổng thời gian di chuyển và nghỉ là 5 giờ, và tổng quãng đường là 260 km. Tính quãng đường ô tô đi với mỗi vận tốc.

Trả lời:

Gọi quãng đường ô tô đi với vận tốc 50 km/h là x (km) và với vận tốc 60 km/h là y (km).

Do tổng quãng đường là 260 nên ta có: x + y = 260 (1).

Ta có: quãng đường = vận tốc x thời gian, mà tổng thời gian di chuyển và nghỉ là 5 giờ, nên ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế, ta được x = 100 km và y = 160 km.

Câu 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa thì sau 80 phút đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi, vòi thứ nhất chảy đầy bể trong thời gian ít hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Trả lời:

Đổi 80 phút = giờ

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là x giờ; thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể là y giờ.

Do vòi thứ nhất chảy đầy bể trong thời gian ít hơn vòi thứ hai là 2 giờ nên y = x +2 ⬄ - x + y = 2 (1)

Mỗi giờ, vòi thứ nhất chảy được bể và vòi thứ hai chảy được bể.

Khi cả hai vòi cùng chảy, mỗi giờ chúng chảy được bể, ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta được: x = 2; y = 4.

Ngoài ra còn một nghiệm khác là x = và y = nhưng loại do thời gian không bao giờ âm.

Vậy, vòi thứ nhất cần 2 giờ để chảy đầy bể, vòi thứ hai cần 4 giờ để chảy đầy bể.

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Một cửa hàng bán hai loại bút bi, loại A có giá 10.000 đồng/chiếc và loại B có giá 12.000 đồng/chiếc. Trong một ngày, cửa hàng bán tổng cộng 50 chiếc bút với tổng doanh thu là 560.000 đồng.

Hãy lập hệ phương trình để tìm số lượng bút loại A và loại B đã bán trong ngày hôm đó.

Trả lời:

Gọi x là số lượng bút loại A bán được, y là số lượng bút loại B bán được.

Theo đề bài, ta có thông tin:

• Tổng số bút bán được là 50: x + y = 50 (1)
• Tổng doanh thu là 560 000 đồng, mỗi bút loại A có giá 10 000 đồng và mỗi bút loại B có giá 12 000 đồng: 10 000x + 12 000y = 560 000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế, hệ có nghiệm = (20; 30)

Vậy số bút loại A bán được là 20 chiếc, số bút loại B bán được là 30 chiếc.

Câu 2: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 28,5 triệu đồng, bao gồm thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 12% đối với loại hàng thứ nhất và 6% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 10% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 28,4 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Trả lời:

Gọi:

- x là giá trị (chưa thuế) của loại hàng thứ nhất (triệu đồng)

- y là giá trị (chưa thuế) của loại hàng thứ hai (triệu đồng)

1. Khi thuế VAT đối với hàng thứ nhất là 12%, hàng thứ hai là 6%, tổng số tiền người đó phải trả là 28,5 triệu đồng. Vậy ta có phương trình:

x + 0,12x + y + 0,06y = 28,5

⬄ 1,12x + 1,06y = 28,5 (1)

2. Khi thuế VAT đối với cả hai loại hàng là 10%, tổng số tiền người đó phải trả là 28,4 triệu đồng. Vậy ta có phương trình:

x + 0,1x + y + 0,1y = 28,4

⬄ 1,1x + 1,1y = 28,4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta được x = 18,83; y = 6,988.

Vậy:

• Giá trị của loại hàng thứ nhất (chưa thuế) là 18,83 triệu đồng.
• Giá trị của loại hàng thứ hai (chưa thuế) là 6,99 triệu đồng.

Do đó, người đó phải trả 18,83 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 6,99 triệu đồng cho loại hàng thứ hai nếu không kể thuế VAT.

Câu 3: Trên một cánh đồng có diện tích 180 ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành 70 ha để cấy thí điểm giống ngô mới, còn lại vẫn cấy giống ngô cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt 10 ha giống ngô cũ và 8 ha giống ngô mới để đối chứng. Kết quả là 8 ha giống ngô mới cho thu hoạch nhiều hơn 10 ha giống ngô cũ là 3 tấn ngô. Biết rằng tổng số ngô (cả hai giống) thu hoạch cả vụ trên 180 ha là 950 tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống ngô trên 1 ha là bao nhiêu tấn ngô?

Trả lời:

Gọi:

• x là năng suất của giống ngô cũ (tấn/ha)
• y là năng suất của giống ngô mới (tấn/ha)

1. Khi thu hoạch 10 ha ngô cũ và 8 ha ngô mới, người ta thấy 8 ha ngô mới cho thu hoạch nhiều hơn 10 ha ngô cũ là 3 tấn ngô, tức là: 8y – 10x = 3 (1)

2. Tổng số ngô thu hoạch trên 180 ha là 950 tấn. Trong đó, 70 ha là giống ngô mới, 110 ha là giống ngô cũ. Ta có phương trình: 110x + 70y = 950 (2)

Từ phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp cộng đại số, ta có hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x; y) = (0,7; 1,25)

Vậy năng suất của mỗi giống ngô trên 1 ha là:

• Giống ngô cũ: 0,7 tấn/ha.
• Giống ngô mới: 1,25 tấn/ha.