BÀI 5: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT

(13 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu khái niệm bất đẳng thức.

Trả lời:

Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay ab, az basb) là bất đẳng thức và gọi a là về trái, b là về phải của bất đẳng thức.

Chú ý

Hai bất đẳng thức 1 < 2 và -3 < -2 (hay 6 > 3 và 8 > 5) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Hai bất đẳng thức 1 < 2 và -2 > -3 (hay 6 > 3 và 5 < 8) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Câu 2: Xác định vế trái và vế phải của các bất đẳng thức sau:

a) 10 > 5

b) (x + 1)² > 0

Trả lời:

a) Vế trái là 10, vế phải là 5

b) Vế trái là (x + 1)² , vế phải là 0.

Câu 3: Bất đẳng thức có tính chất quan trọng nào?

Trả lời:

Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu của bất đẳng thức).

Chú ý: tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (>=), nhỏ hơn hoặc bằng (<=) cũng có tính chất bắc cầu.

Câu 4: Em hãy nêu liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

Trả lời:

Khi cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Câu 5: Em hãy nêu liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.

Trả lời:

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

– Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy dùng kí hiệu để viết bất đẳng thức tương ứng với mỗi trường hợp sau:

a) x lớn hơn bằng hoặc bằng 5

b) m là số dương

c) n là số âm

d) p nhỏ hơn 2 024

Trả lời:

a)

b)

c)

d) p < 2 024

Câu 2: Em hãy viết một bất đẳng thức phù hợp trong mỗi trường hợp sau:

a) Xe khách chở được tối đa 40 người

b) Lớp học được mở với tối thiểu là 10 học sinh

c) Nam đủ tuổi kết hôn là từ 20 tuổi trở lên

Trả lời:

a) a

b) b

c) c

Câu 3: Không thực hiện phép tính, hãy so sánh:

a) 17 + 213 325 và 19 + 213 325

b) 123 774 756 – 785 312 và 123 774 756 – 732 751

Trả lời:

a) Ta có: 17 + 213 325 và 19 + 213 325

Vì 17 < 19 nên:

17 + 213 325 < 19 + 213 325

b) Ta có: 123 774 756 – 785 312 và 123 774 756 – 732 751

ó 123 774 756 + (-785 312) và 123 774 756 + (-732 751)

Vì -785 312 < -732 751 nên:

123 774 756 – 785 312 < 123 774 756 – 732 751

Câu 4: Cho a > b, hãy so sánh:

a) 10a + 17 và 18b + 17

b) -11a – 19 và -9b – 19

Trả lời:

a) 10a + 17 và 18b + 17

Vì a > b nên 10a > 18b nên:

10a + 17 > 18b + 17

b) -11a – 19 và -9b – 19

Vì a > b nên -11a < -9b nên:

-11a – 19 < -9b – 19

Câu 5: Em hãy dùng các dấu >, <, để diễn tả:

a) Tốc độ v đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4a.

b) Trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu đúng quy định với biển báo giao thông ở Hình 4b.

Trả lời:

a) Trong Hình 4a, biển báo chỉ tốc độ tối đa cho phép là 70 km/h. Do đó ta có v ≤ 70.

b) Trong Hình 4a, biển báo chỉ trọng tải P của toàn bộ xe khi đi qua cầu không vượt quá 10 tấn. Do đó ta có Ρ ≤ 10.

Câu 5: Theo quy định của một hãng bay, khối lượng hành lí xách tay của khách hàng phổ thông không được vượt quá 10 kg. Gọi m là khối lượng hành lí xách tay của một khách hàng phổ thông. Em hãy biểu diễn khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay?

Trả lời:

Khối lượng hành lí xách tay của khách hàng phổ thông không được vượt quá 10 kg, nghĩa là khối lượng hành lí đúng quy định của hãng bay nhỏ hoặc bằng 10 kg.

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: Chứng minh:

1. .
2. .

Trả lời:

1. Do nên do đó Vậy .
2. Do nên do đó

Vậy

Câu 2: Chứng minh:

1. với m > n.
2. với .

Trả lời:

1. Do nên suy ra , mà +3 do đó +3. Vậy với m > n.

2. Do nên , suy ra . Vậy với .

Câu 3: So sánh và với .

Trả lời:

Để so sánh và ta tính hiệu: , có

Do đó suy ra

Xét có và suy ra , do đó :

và

Vậy với

Câu 4: Một nhà tài trợ dự kiến tổ chức một buổi đi dã ngoại tập thể nhằm giúp các bạn học sinh vùng cao trải nghiệm thực tế tại một trang trại trong 1 ngày (từ 14h00 ngày hôm trước đến 12h00 ngày hôm sau). Cho biết số tiền tài trợ dự kiến là 30 triệu đồng và giá thuê các dịch vụ và phòng nghỉ là 17 triệu đồng 1 ngày, giá mỗi suất ăn trưa, ăn tối là 60 000 đồng và mỗi suất ăn sáng là 30 000 đồng. Hỏi có thể tổ chức cho nhiều nhất bao nhiêu bạn tham gia được?

Trả lời:

Gọi là số bạn học sinh có thể tham gia được (học sinh) ().

Theo bài, số tiền còn lại sau khi thu dịch vụ và phòng nghỉ là: 30 – 17 = 13 (triệu đồng) =13000 (nghìn đồng).

Số tiền ăn sáng, ăn trưa và ăn tối của 1 bạn là: 60 000 + 30 000 + 60 000 = 150 000 (đồng) = 150 (nghìn đồng).

Như vậy, số tiền ăn của x bạn học sinh trong chuyến đi là 150x (nghìn đồng).
Khi đó ta có: .
Suy ra hay .

Mà nên số bạn học sinh nhiều nhất có thể tham gia được là 86 bạn.
Vậy nhà tài trợ có thể tổ chức cho nhiều nhất 86 bạn tham gia được chuyến đi.

Câu 5: Với mọi x, y, z chứng minh: .

Trả lời:

Dầu tiên nhân với 2 cho 2 vế ta được :

(Luôn đúng).

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Với mọi a, b chứng minh: .

Trả lời:

Ta có:

(Luôn đúng).

Dấu bằng xảy ra khi .

Câu 2: Với mọi , ,a b c , chứng minh:

Trả lời:

1. Ta có:

(Luôn đúng).

Dấu bằng khi a = b = c.

1. Ta có :

(Luôn đúng).

Dấu bằng xảy ra khi a +2c = 2b.

Câu 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a > b. Chứng minh rằng :

.

Trả lời:

Đầu tiên, bình phương hai vế ta được :

Do nên và , do đó :

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.