BÀI 14: CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN

(15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu khái niệm dây và đường kính của đường tròn.

Trả lời:

• Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn.
• Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn. Dễ thấy đường kính của đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R.

Câu 2: Trong một đường tròn, loại dây cung nào là lớn nhất?

Trả lời:

Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Câu 3: Em hãy nêu khái niệm góc ở tâm và cung tròn.

Trả lời:

Cho hai điểm A và B cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm A và B gọi là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung đó.

Chú ý:

• Khi góc AOB không bẹt thì cung nằm trong góc AOB gọi là cung nhỏ (trên Hình 5.9, AmB là cung nhỏ). Khi đó còn có thể kí hiệu gọn là AB. Cung còn lại, gọi là cung lớn. Khi góc AOB bẹt thì mỗi cung AB được gọi là một nửa đường tròn.
• Ta còn nói góc AOB chắn cung AB hay cung AB bị chắn bởi góc AOB.

Câu 4: Số đo của một cung được xác định như thế nào?

Trả lời:

1) Số đo của một cung được xác định như sau:

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chẳn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai mút.

2) Số đo của cung AB được kí hiệu là sơ AB. Trên Hình 5.9, ta có: sđ = = x (0° < α≤ 180°); sđ = 360° - α.

Chú ý:

• Cung có số đo n^o còn gọi là cung n^o. Cả đường tròn được coi là cung 360°. Đôi khi cung 0º
• Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng số đo.

2. THÔNG HIỂU (5 CÂU)

Câu 1: Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không đi qua I (Hình vẽ). Hãy so sánh độ dài AB, CD, EF.

Trả lời:

Trong đường tròn (I), AB và CD là đường kính đi qua tâm I, EF là dây cung không đi qua I.

Do đó AB = CD và EF < AB, EF < CD.

Vậy EF < AB = CD

Câu 2: Bạn Hà căng ba đoạn chỉ AB, CD, EF có độ dài lần lượt là 32 cm, 28 cm và 40 cm trên một khung thêu hình tròn bán kính 20 cm (Hình vẽ). Trong ba dây trên, dây nào đi qua tâm của đường tròn? Giải thích

Trả lời:

Gọi (O; R) là đường tròn có bán kính R = 20 cm, suy ra đường kính 40 cm.

Ta có EF = 40 cm = 2.20 cm = 2R.

Do đó, trong ba dây AB, CD và EF thì có dây EF đi qua tâm của đường tròn.

Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm và hai dây AB và AC. Cho biết AB = 5cm AC = 2cm, hãy tính khoảng cách từ 0 đến dây AB và dây AC.

Trả lời:

Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ 0 đến AB, AC.

Tính được: OH = (cm); OK = 2 (cm)

Câu 4: Trong hình vẽ bên có AB CD , AE = 2 EB = 6 EC = 4 và ED = 3 Tính độ dài đường kính của đường tròn (O).

Trả lời:

Ta có AB = AE + EB = 2 + 6 = 8cm CD = CE + ED = 4 + 3 = 7cm

Kẻ OI AB tại I và OH CD tại H. Khi đó I, H lần lượt là trung điểm của AB, CD. Do vậy IA = IB = = 4 và HC = HD = = .

Ta có: OI = HE = CE - CH = 4 - =

Do đó: OB = = = => 2R =

Câu 5: Cho đường tròn (O;R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây

Trả lời:

Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ 0 đến AB, CD

Ta có: OH = OK = 1(cm)

3. VẬN DỤNG (3 CÂU)

Câu 1: Cho đường tròn và dây .

a) Tính khoảng cách từ tâm đến dây .

b) Lấy điểm trên dây sao cho . Qua kẻ dây vuông góc với . Chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Kẻ tại . Khi đó là trung điểm của , do vậy .
Ta có .

b) Kẻ tại là trung điểm của . Do vậy .

Ta có , suy ra là hình vuông. Do đó .
Xét tam giác vuông tại , ta có .

Do vậy , suy ra .

Câu 2: Trong hình vẽ bên có một mảnh giấy hình chữ nhật che khuất một phần của đường tròn . Cho biết và .

a) Tính độ dài đoạn .

b) Cho . Tính bán kính của đường tròn .

Trả lời:

a) Kẻ tại cắt tại . Khi đó lần lượt là trung diểm của .
Ta có . Vì là hình chữ nhật nên .

Do đó

Vậy .

b) Xét tam giác vuông tại có .

Xét tam giác vuông tại có , do đó

Mà .
Khi đó .

Câu 3: Cho đường tròn và đường kính . Dây vuông góc với tại .

a) Tính độ dài các đoạn .

b) Gọi theo thứ tự là hình chiếu của lên . Tính diện tích tứ giác .

Trả lời:

a) Vì tại nên .

Giả sử . Xét tam giác vuông tại có

Do đó

b) Vì nên

Mà nên

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Cho nửa đường tròn , đường kính . Một dây có hai đầu mút di chuyển trên nửa đường tròn (điểm nằm trên cung nhỏ ). Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng .

a) Chứng minh và có trung điểm trùng nhau.

b) Chứng minh .

c) Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất.

Trả lời:

a) Kẻ là trung điểm của và .
Do là trung điểm nên và cách đều nhau, do đó .
Từ (1) và (2) ta có và có trung điểm trùng nhau.

b) Ta có . Vậy .

c) Vì là trung điểm của nên . Xét tam giác vuông tại có

Vì là hình thang có là đường trung bình nên .
Kẻ tại và . Do vậy

Dấu bằng xảy ra khi , hay .

Vậy khi thì diện tích tứ giác lớn nhất.

Câu 2: Cho đường tròn và hai bán kính . Trên các bán kính lần lượt lấy các điểm sao cho . Vẽ dây đi qua và ( nằm giửa và .

a) Chứng minh rằng .

b) Giả sử và , hãy tính độ dài theo .

Trả lời:

a)

Hạ tại và cắt tại .

Trong tam giác cân tại , ta có

và .

Vì nên là trung điểm , do vậy . Ta có

b)

Đặt . Vì tam giác vuông cân tại và nên tam giác vuông cân tại .

Xét tam giác vuông tại , ta có

Khi đó .

Vậy với sẽ thỏa mãn đề bài.

Câu 3: Cho đường tròn và đường kính . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Qua lần lượt vẽ các dây song song với nhau cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính ).

a) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.

b) Giả sử và cùng tạo với một góc . Tính diện tích hình chữ nhật .

Trả lời:

a) Kẻ tại

là trung điểm và (do ). Giả sử cắt tại là trung điểm của .

Xét hai tam giác vuông và có

và nên , do đó .
Xét tứ giác có và nên là hình bình hành.
Lại có là đường trung bình của hình bình hành và .
Do đó là hình chữ nhật.

b) Kẻ tại

là trung điểm và (do ). Giả sử cắt tại là trung điểm của .

Xét hai tam giác vuông và có

và nên , do đó

.
Xét tứ giác có và nên là hình bình hành.
Lại có là đường trung bình của hình bình hành và .

Do đó là hình chữ nhật.