BÀI 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẰNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

(16 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Trả lời:

1) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (H.5.26a).

2) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là tiếp xúc với nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H (H.5.26b).

3) Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (H.5.26c).

Câu 2: Em hãy nêu dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.

Trả lời:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Câu 3: Hai tiếp tuyến cắt nhau có tính chất gì? Em hãy nêu chi tiết.

Trả lời:

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M thì:

• Điểm M cách đều hai tiếp điểm;
• MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;
• OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Câu 4: Em hãy hoàn thành bảng sau:

Bảng tóm tắt vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn

(d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 4cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC với đường tròn tâm A bán kính 2,8cm.

Trả lời:

Vẽ AH là đường cao của tam giác vuông ABC.

Ta có:

Do đó đường thẳng BC và đường tròn (A; 2,8 cm) cắt nhau.

Câu 2: Cho ∆ABC vuông tại A có BD là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA.

Trả lời:

Vẽ DE BC (E∈ BC)

D thuộc tia phân giác ; DA AB, DE BC ⇒ DE = DA.

Do đó đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA tiếp xúc nhau.

Câu 3: Cho điểm M cách đường thẳng xy một đoạn bằng 6cm, vẽ đường tròn (M;10cm).

Chứng minh rằng đường tròn tâm M và đường thẳng xy cắt nhau

Trả lời:

Kẻ MH xy = H => MH là khoảng cách từ M đến xy

• => MH < R => xy cắt (O; 10cm) tại P và Q

Câu 4: Cho điểm A thuộc đường tròn (0;3cm). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng OB

Trả lời:

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (0;3cm)

Suy ra AB OA⇒ = 90°

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOB

Ta có: OB² = OA² + AB²

• OB² = 32 +42 = 25
• OB = 5

Câu 5: Cho tam giác ABC đường cao AH. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính AH.

Trả lời:

Ta thấy khoảng cách từ tâm A của (A;AH) đến đường thẳng BC là AH.

Suy ra BC là tiếp tuyến của (A;AH)

Câu 6: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên 1 đường tròn.

b) Gọi (0) là đường tròn đi qua bốn điểm A,D,H,E và M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O).

Trả lời:

a) Xét

Vậy 4 điểm cùng thuộc 1 đường tròn

b) Xét là trung điểm của cân tại

Ta lại có cân tại

Mặt khác (cùng phụ với ) và là tiếp tuyến của đường tròn

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: Cho ∆ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính AH.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AH.

Trả lời:

a) Gọi là trung điểm của

Xét và vuông tại và ta có:

Suy ra bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính

b) Tam giác vuông tại có là đường trung tuyến nên

Ta có: cân)

(phụ với )

(Vì cân)

Do đó:

Ta có:

Hay

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .

Tương tự ta chứng minh được là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .

Câu 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ CD OA tại trung điểm I của OA. Các tiếp tuyến với đường tròn tại C và D cắt nhau ở M.

a) Chứng minh rằng A, B, M thẳng hàng.

b) Tứ giác OCAD là hình gì ?

c) Tính .

d) Chứng minh đường thẳng MC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BI).

Trả lời:

a) là trung trực của , có (tính chất tiếp tuyến) thuộc đường trung trực của thẳng hàng

b) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi

c) có nên là tam giác đều

d) Hạ vuông góc , ta có: là phân giác
là phân giác của đpcm

(dựa vào tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

Ta có: là hai góc kề bù, là phân giác
là phân giác là hình thoi đều

Câu 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F.

a) Chứng minh = 90°.

b) Tứ giác MEOF là hình gì?

c) Chứng minh OB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Trả lời:

a) Dễ thấy

Có là các tiếp tuyến

Tương tự ta có:

là phân giác của

Tương tự là phân giác

b) Do cân tại nên là đường phân giác đồng thời là đường cao .

Tương tự là hình chữ nhật.

c) Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn đường kính và . Có là hình thang vuông tại và nên . Do đó là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .

Câu 4: Cho đường tròn (O;R) và dây AB = 1, 6R . Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, nó cắt các tia OA và OB theo thứ tự tại M và N. Tính diện tích

Trả lời:

Nối ta được (tính chất tiếp tuyến)

Ta lại có

Theo tính chất đường kính vuông góc với một dây ta được:

Tam giác vuông tại
Xét có (tì số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng)

Diện tích tam giác là:

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. E là điểm đối xứng của B qua H. Vẽ đường tròn đường kính EC cắt AC tại K. Xác định vị trí tương đối của HK với đường tròn đường kính EC.

Trả lời:

Gọi là tâm của đường tròn đường kính là trung điểm của .

Vì là đường kính của và thuộc nên .

Vì .

Mặt khác vuông tại .

Suy ra tứ giác là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lấy là trung điềm của . Vì đối xứng với qua .

Suy ra là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của hình thang

, mà .

vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của .

cân tại (1).

Vì .

Vì và thuộc nên cân tại (2).
Từ (1) và (2) ta có: .

và đường tròn đường kính tiếp xúc với nhau.

Câu 2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Đường thẳng d qua A, gọi B và C là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (0). Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng AB + AC lớn nhất.

Trả lời:

Vẽ đường thẳng qua tiếp xúc với đường tròn tại và , ta có và cố định.

+ Nếu trùng với hoặc

Ta có các điểm trùng nhau nên

+ Nếu không trùng với hoặc Vẽ

Ta có: là trung điểm (Định lí đường kính vuông góc dây cung)
Và có

Nên

Xét vuông tại nên theo định lý Py-ta-go,

Ta có:

Xét vuông tại nên theo định lý Py-ta-go,

Ta có:

Do đó:

Mà

Nên

Vậy khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì nhỏ nhất.