BÀI 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

(19 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (6 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu hiểu biết của mình về hai đường tròn cắt nhau.

Trả lời:

Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm của chúng.

Ta thấy hai đường tròn (O; R) và (O'; R) cắt nhau khi R - R' < OO' < R + R' (với R > R).

Câu 2: Cho hai điểm O và O' sao cho OO' = 7 cm. Hãy giải thích tại sao hai đường tròn (O; 6 cm) và (O'; 5 cm) cắt nhau.

Trả lời:

Đặt R = 6 cm; R' = 5 cm, ta thấy 1 cm < 7 cm < 11 cm, nên R – R’ < OO' < R + R'. Do đó, hai đường tròn đã cho cắt nhau.

Câu 3: Em hãy nêu hiểu biết của mình về hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Trả lời:

Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng.

Chú ý: Người ta còn phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn tiếp xúc ngoài (H.5.34a) và hai đường tròn tiếp xúc trong (H.5.34b).

Nhận xét:

1. Hai đường tròn (O; R) và (O'; R) tiếp xúc ngoài khi OO' = R + R' và tiếp xúc trong khi OO' = R - R' * (R > R') .

2. Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm thẳng hàng với hai tâm.

Câu 4: Em hãy nêu hiểu biết của mình về hai đường tròn không giao nhau.

Trả lời:

Nếu hai đường tròn không có điểm chung nào thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

Chú ý Người ta còn phân biệt hai trường hợp: hai đường tròn ngoài nhau (H.5.36a) và đường tròn này đựng đường tròn kia (H.5.36b).

Nhận xét:

- Hai đường tròn (O; R) và (O; R) ngoài nhau khi O * O' > R + R'

- Đường tròn (O; R) đựng đường tròn (O; R) khi R> R' * và O * O' < R - R' Đặc biệt, khi O trùng với Ở và R ne R' thì ta có hai đường tròn đồng tâm.

Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm O' bán kính r . Điền vào chỗ trống trong bảng sau.

Trả lời:

Câu 6: Mô tả vị trí tương đối giữa mỗi cặp đường tròn trong hình chụp bộ cồng chiêng Tây Nguyên trong hình vẽ bên dưới.

Trả lời:

Hình a): Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Hình b): Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Hình c): Hai đường tròn cắt nhau.

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Cho đường tròn (0,6 cm) và đường tròn (0,5 cm) có đoạn nối tâm OO' = 8 cm. Biết đường tròn (O) và (O') cắt OO' lần lượt tại N, M (hình bên). Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Trả lời:

Ta có:

OM + MN = ON => OM + MN = 6

O’N + MN = O’M => O’N + MN = 5

Suy ra OM + MN + O’N + MN = 11 => OO’ + MN = 11 => MN = 3cm

Câu 2: Cho hai đường tròn (0;4 cm) và (O';3 cm) có OO’ = 5 cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Tính độ dài AB.

Trả lời:

Áp dụng định lý Py ta go đảo cho ta có:

OO’² = OA² + O’A² => 5² = 4² + 3²

Suy ra vuông tại A

Gọi H là giao của AB và OO’. Vì hai đường tròn (o; 4cm) và (O’; 3cm) cắt nhau tại A và B suy r ra OO’ AB (Tính chất đường nối tâm với dây chung)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OO’A.

Ta có:

Do đó, AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8 cm.

Câu 3: Cho đường tròn (O;R) và (O'; R') cắt nhau tại A, B. Chứng minh OO' là đường trung trực của AB.

Trả lời:

Ta có: OA = OB = R

O'A=O'B = R'

Do đó O, O' thuộc đường trung trực của AB

Vậy OO' là đường trung trực của dây AB.

Câu 4: Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (O'; 6,5 cm). Biết rằng OO' = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Trả lời:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn (O) và (O') lần lượt là R = 11, 5 cm và r = 6, 5 cm. Do R - r = 11, 5 - 6, 5 = 5 (cm) và 4 < 5 nên OO' < R - r.

Vậy đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (O'; 6,5 cm).

Câu 5: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn (I; R) và (J; R') trong mỗi trường hợp sau:

a) IJ = 5 R = 3 R' = 2

b) IJ = 4 R = 11 R' = 7

c) IJ = 6 R = 9 R' = 4

d) IJ = 10 R = 4 R = 1

Trả lời:

a) Ta có 5 = 3+ 2 nên IJ = R + R', suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R') tiếp xúc ngoài.

b) Ta có 4 = 11 - 7 nên IJ = R – R', suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R') tiếp xúc trong.

c) Ta có: 9 - 4 < 6 < 9 + 4 nên R - R'< IJ < R + R', suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R') cắt nhau.

d) Ta có: 10 > 4 + 1 nên IJ > R + R', suy ra hai đường tròn (I; R) và (J; R') ở ngoài nhau.

Câu 6: Cho hai đường tròn (O) và (O') nằm ngoài nhau. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (A,C (O); B, D ∈ (O')). Tiếp tuyến chung trong MN cắt AB, CD theo thứ tự tại E,F, (Μ (Ο), Ν (Ο')). Chứng minh:

a) AB = EF.

b) EM = FN.

Trả lời:

a) Ta có: AB = AE + BE = EM + EN và CD = FD + FC = NF + NE

=> AB + CD = 2EF => AB = EF

b) Ta có: EM = AB - EB = EF - EN = NF

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: Cho hai đường tròn (O;8cm) và (O';5cm) tiếp xúc ngoài tại M. Gọi AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (A∈(0); B∈ (O')). Tính độ dài AB (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời:

Vẽ BC//OO' (C ∈ OA) (1)

Ta có: OA//O'B ( AB) (2)

Từ (1)(2) => OCBO' là hình bình hành

Do đó OC = O'B = 5(cm); BC = OO' =13(cm)

Có: AC = OA – OC = 8 – 5 = 3(cm)

∆ABC vuông tại A → AB = = ≈12,65(cm)

Câu 2: Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO'C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Gọi M là giao điểm của BD và CE.

a) Tính .

b) Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

d) Chứng minh: MD.MB = ME.MC.

e) Gọi H là trung điểm của BC, chứng minh rằng MH DE.

Trả lời:

a) Ta có:

b) Có là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật)

c) Gọi là giao điểm của và

Chứng minh tương tự:

Vậy là tiếp tuyến chung cùa hai đường tròn

d. Ta có:

e)

Câu 3: Cho hai đường tròn (O;5cm) và (O';3cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC(B∈ (O); C∈(O')). Vẽ đường tròn (I;r) tiếp xúc với BC tại M và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O) và (O') tại N và P. Tính độ dài r (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời:

Qua vẽ

Cộng vế theo vế của ta được:

Vậy .

Câu 4: Cho hai đường tròn (O;R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài tại A với (R > R'). Đường nối tâm OO' cắt (O), (O') lần lượt tại B,C. Dây DE của (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

a) Chứng minh BDCE là hình thoi

b) Gọi I là giao điểm của EC và (O'). Chứng minh D,A,I thẳng hàng

c) Chứng minh KI là tiếp tuyến của (O').

Trả lời:

1) Vì BC vuông góc với đường thẳng DE nên DK = KE, BK = KC (theo giả thiết) do đó tứ giác BDCE là hình bình hành, lại có BC DE nên là hình thoi.

2) Vì tam giác BDA nội tiếp đường tròn (O₁) có BA là đường kính nên ABDA vuông tại D. Gọi I là giao điểm của DA với CE thì = 90° (1) (vì so le trong với ). Lại có AIC nội tiếp đường tròn (O₂) có AC là đường kính nên tam giác AIC vuông tại I, hay = 90° (2). Từ (1) và (2) suy ra I=I'. Vậy D, A, I thẳng hàng.

3) Vì tam giác DIE vuông tại I có IK là trung tuyển ứng với cạnh huyền DE nên KD = KI = KE => = (1).

Lại có (2) do cùng phụ với và (3), vì O₂C = O₂I là bán kính của đường tròn (O₂).

Từ (1), (2), (3) suy ra = => + = = 90° hay = 90° do đó KI vuông góc với bán kính O₂I của đường tròn (O₂). Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O₂).

4. VẬN DỤNG CAO (3 CÂU)

Câu 1: Cho nửa đường tròn , đường kính . Một dây có hai đầu mút di chuyển trên nửa đường tròn (điểm nằm trên cung nhỏ ). Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng .

a) Chứng minh và có trung điểm trùng nhau.

b) Chứng minh .

c) Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất.

Trả lời:

a) Kẻ là trung điểm của và .
Do là trung điểm nên và cách đều nhau, do đó .
Từ (1) và (2) ta có và có trung điểm trùng nhau.

b) Ta có . Vậy .

c) Vì là trung điểm của nên . Xét tam giác vuông tại có

Vì là hình thang có là đường trung bình nên .
Kẻ tại và . Do vậy

Dấu bằng xảy ra khi , hay .

Vậy khi thì diện tích tứ giác lớn nhất.

Câu 2: Cho đường tròn và hai bán kính . Trên các bán kính lần lượt lấy các điểm sao cho . Vẽ dây đi qua và ( nằm giửa và .

a) Chứng minh rằng .

b) Giả sử và , hãy tính độ dài theo .

Trả lời:

a)

Hạ tại và cắt tại .

Trong tam giác cân tại , ta có

và .

Vì nên là trung điểm , do vậy . Ta có

b)

Đặt . Vì tam giác vuông cân tại và nên tam giác vuông cân tại .

Xét tam giác vuông tại , ta có

Khi đó .

Vậy với sẽ thỏa mãn đề bài.

Câu 3: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Kẻ OH xy. Em hãy chứng minh: đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định là giao của OH và AB.

Trả lời:

Vì nên là một điểm cố định và không đổi.

Gọi giao điểm của và là ; giao điểm của với là .

Vì và đường tròn đường kính cắt nhau tại nên

Lại có điểm nằm trên đường tròn đường kính nên

Xét và có chung và nên

Suy ra

Xét vuông tại có là đường cao nên hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Do không đồi nên cũng không đổi.

Vậy là một điểm cố định hay luôn đi qua một điểm cố định là giao của và .