BÀI 19: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

(12 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu nhận biết của phương trình bậc hai một ẩn.

Trả lời:

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0,

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a khác 0.

Câu 2: Trong các phương trình sau, những phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn ? Chỉ rõ các hệ số của mỗi phương trình bậc hai đó.

a) ;

b) ;

c) .

Trả lời:

a) Phương trình là phương trình bậc hai với .
b) Phương trình không phải là phương trình bậc hai.
c) Phương trình là phương trình bậc hai ẩn với .

Câu 3: Em hãy nêu cách giải phương trình bậc hai.

Trả lời:

Xét phương trình bậc hai một ẩn (a khác 0)

Tính biệt thức

• Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

• Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép

• Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Câu 4: Em hãy giải các phương trình sau:

a) 4x² – 9 = 0

b) -2x² + 50 = 0

c) 3x² + 11 = 0

Trả lời:

a) . Phương trình có tập nghiệm là .

b) . Phương trình có tập nghiệm là .

c) Vì với mọi giá trị của nên phương trình đã cho vô nghiệm.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) .

b) .

Trả lời:

a) Phương trình có dạng với .

Ta có .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Phương trình có dạng với .

Ta có .
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2: Xác định hệ số a, b, c. Tính biệt thức (hoặc ’ nếu b = 2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – x – 11 = 0

b) x² – 4x + 4 = 0

c) 5x² – 4x +1 = 0

d) -2x² + x – 3 = 0

Trả lời:

a) x² – x – 11 = 0

Ta có: a = 1; b = -1; c = -11

Do > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

b) Ta có:

Do nên phương trình đã cho có nghiệm kép là:
c) Ta có:

Do nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

d) Ta có: ;

Do nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3: Em hãy giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

Trả lời:

a)

Ta có

Do nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

b)

Ta có

Do nên phương trình đã cho vô nghiệm.

c)

Ta có: .

Do nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là

Câu 4: Em hãy giải các phương trình sau:

a) x(x – 2) + 4x – 8 = 0

b) x² – 4x + 2 = 0

c) 2x² + 5x = 1

Trả lời:

a) Ta có

Phương trình có tập nghiệm là .

b) Ta có

Phương trình có tập nghiệm là .

c) Ta có

Phương trình có tập nghiệm là .

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Một hàm số bậc 2 có dạng y = x² + ax + b, biết phương trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x₁ = 1, x₂ = 3:

a) Xác định hệ số a, b.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho.

c) Giả sử hệ số a giữ nguyên, hệ số b phải thay đổi bằng bao nhiêu để phương trình

y = 0 có nghiệm là x = 5.

Trả lời:

a) Hàm số y đã cho là một hàm số bậc hai một ẩn x có hệ số của x² là 1 và hai nghiệm phân biệt của phương trình y = 0 là x₁ = 1, x₂ = 3, do đó ta có thể viết hàm số này dưới dạng:

y = 1.(x – 1)(x – 3)

= x² – x – 3x + 3

= x² – 4x + 3

Vì vậy a = –4 và b = 3.

b) Từ ý a ta đã tìm được dạng của hàm số đã cho là: y = x² – 4x + 3

Biến đổi để tìm giá trị nhỏ nhất ta có:

y = x² – 4x + 4 – 1

= (x - 2)² – 1

Ta có:

(x - 2)² 0 với mọi x

(x - 2)² – 1 –1

=> y –1 với mọi x

Dấu bằng xảy ra khi x = 2, khi đó y_min = –1.

c) Hệ số a của hàm số giữ nguyên, hệ số b thay đổi, do đó ta có dạng của hàm số y:

y = x² – 4x + b

Do phương trình y = 0 có nghiệm x = 5, ta có :

0 = 5² – 4.5 + b

=> b = –5

Vậy b = –5 là giá trị cần tìm.

Câu 2: Cho phương trình 4x² + 4mx + m + 6 = 0.

a) Hãy tìm của phương trình theo m.

b) Với giá trị vừa tìm được, hãy cho biết:

+ Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép.

+ Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm.

+ Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Trả lời:

a) Ta có:

= b² – 4ac

= (4m)² – 4.4.(m + 6)

= 16m² – 16m – 96

Vậy = 16m² – 16m – 96.

b) Ta có: = 16m² – 16m – 96.

+ Phương trình có nghiệm kép khi:

Khi đó: 16m² – 16m – 96 = 0

=> m = -2 hoặc m = 3.

+ Phương trình vô nghiệm khi

Khi đó: 16m² – 16m – 96 < 0

Vì phương trình 16m² – 16m – 96 = 0 có hai nghiệm là m = -2 hoặc m = 3.

Do đó 16m² – 16m – 96 < 0 khi -2 < m < 3 (trong khoảng hai nghiệm thì hàm số trái dấu với hệ số của m²).

+ Tương tự phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

Khi đó 16m² – 16m – 96 > 0 hay -2 > m hoặc m > 3 (ngoài khoảng hai nghiệm thì hàm số cùng dấu với hệ số của m²).

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho phương trình x² + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0 với m là tham số và là số thực.
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép.

Trả lời:

a) Với bài này ta có thể viết công thức nghiệm để thấy luôn có một nghiệm x = 3 với mọi m, hoặc ta có thể làm như sau:

Ta có :

x² + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0

x² – 3x + (m – 2)x – 3(m – 2) = 0

x(x – 3) + (m – 2)(x – 3) = 0

(x – 3)(x + m – 2) = 0

=> x = 3 hoặc x = 2 – m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m.

b) Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình phải có x₁ = x₂, khi đó:

3 = 2 – m

=> m = -1

Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.

Câu 2: Một người dự định đi xe máy từ A đến B với vận tốc không đổi. Nhưng sau khi đi được 2 giờ thì xe bị hỏng phải dừng lại 20 phút để sửa chữa. Do đó, để kịp đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm 8 km/h. Tính vận tốc ban đầu của xe máy. Biết rằng quãng đường AB dài 160km

Trả lời:

Gọi vận tốc ban đầu của xe là: x, x > 0 (km/h).

Thời gian xe máy dự định đi hết quãng đường AB: (giờ).

Quãng đường mà xe máy đã đi được sau 2 giờ chạy: 2x (km).

Vận tốc lúc sau khi sửa chữa của xe là: x+8 (km/h).

Thời gian xe đi quãng đường còn lại: (giờ).

Có 20 phút = 1/3 giờ.

Do xe máy đến B đúng thời gian dự định, ta có phương trình:

Giải phương trình trên ta có hai nghiệm phân biệt là x = 40 hoặc x = -96, do x > 0 vậy nên ta chỉ lấy nghiệm x = 40 (km/h).

Vậy vận tốc ban đầu của xe là 40 km/h.