BÀI 20: ĐỊNH LÍ VIETE VÀ ỨNG DỤNG

(12 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu định lí Viète.

Trả lời:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) thì:

Câu 2: Biết phương trình 2x² + 9x + 6 = 0 có hai nghiệm là x₁, x₂. Không giải phương trình, hãy tính tổng x₁ + x₂ và tích x₁x₂.

Trả lời:

Phương trình 2x² + 9x + 6 = 0 có > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Khi đó theo hệ thức Viète ta có: x₁ + x₂ = - 9/2; x1.x₂ = 3

Vậy x₁ + x₂ = - 9/2; x₁. x₂ = 3

Câu 3: Dựa vào bài đã học, em hãy nêu áp dụng định lí viète để tính nhẩm nghiệm.

Trả lời:

Xét phương trình (a khác 0)

• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, còn nghiệm kia là x₂ =
• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = -1, còn nghiệm kia là x₂ =

Câu 4: Em hãy nêu cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

Trả lời:

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x² – Sx + P = 0

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:

a) A =

b) B =

c) C = |

Trả lời:

Ta có: => phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: x₁ + x₂ = 5; x₁.x₂ = 3

a) A = = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 5² – 2.3 = 19

b) B = = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 80

c) C = |

=> C² = (x₁ -x₂)2 = – 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

=> C = | = =

Câu 2: Cho phương trình 2x² – 4x – 3 = 0 có hai nghiệm là x₁; x₂. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: A = (x₁ – x₂)²

Trả lời:

Theo hệ thức Viète, ta có: x₁ + x₂ = 2; x₁.x₂ =

Ta có:

A = (x₁ – x₂)²

A = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂

A = 2² – 4(

A = 10

Vậy A = 10

Câu 3: Cho phương trình x² + 5x – 4 = 0. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thứ Q = x₁² + x₂² + 6x₁x₂

Trả lời:

Vì nên và trái dấu suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Viète có

Câu 4: Cho phương trình có hai nghiệm , giá trị của biểu thức bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Phương trình có hệ số trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Viète ta có: .

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Giả sử là hai nghiệm của phương trình: . Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau

a)

b)

c)

d)

Trả lời:

a) Ta có phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viète, ta có:

b)

c)

d)

Câu 2: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – x – 1 = 0. Lập phương tình bậc hai có hai nghiệm là :

a) x₁+1, x₂+1

b) x₁² + x₂, x₂² + x₁

c)

Trả lời:

Ta có a.c = - 1 < 0, do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt và theo viète ta có : x₁ + x₂ = 1 và x₁.x₂ = -1.

a) Ta có:

+) x₁ + 1 + x₂ + 1 = 1 + 1 + 1 = 3

+) (x₁+1)( x₂+1) = x₁.x₂ + x₁ + x₂ +1 = -1 + 1 + 1 = 1

=> x₁+1, x₂+1 là hai nghiệm của phương trình : x² – 3x + 1 = 0.

b) Ta có :

+) x₁² + x₂ + x₂² + x₁ = (x₁ + x₂)² + x₁ + x₂ – 2.x₁.x₂ = 1 + 1 – 2.(-1) = 4

+) (x₁² + x₂)(x₂² + x₁) = x₁². x₂² + x₁³+ x₂³+ x₁.x₂ = 1 + x₁³+ x₂³ -1

= (x₁ + x₂)³ – 3.x₁.x₂.( x₁ + x₂)

= 1 – 3.(-1).1 = 4

Do đó : x₁² + x₂, x₂² + x₁ là hai nghiệm của phương trình : x² – 4x + 4 = 0.

c) Ta có :

Do đó là hai nghiệm của phương trình : x² + 3x + 1 = 0.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x² – 2mx + 4m – 4 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁² + x₂² – 8 = 0

Trả lời:

Xét phương trình x² – 2mx + 4m – 4 = 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi :

=> m² – 4m + 4 > 0

(m – 2)² > 0

m – 2 0

m 2

Do đó với m 2 thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Áp dụng định lý viète ta có : x₁ + x₂ = 2m và x₁.x₂ = 4m – 4.

Theo đề bài ta có :

(thỏa mãn điều kiện) hoặc (không thỏa mãn điều kiện) Vậy .

Câu 2: Cho phương trình: (1) ( là ẩn số).
a) Giải phương trình (1) khi .
b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm.
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn đẳng thức:
.

Trả lời:

a) Giải phương trình (1) khi .

+) Khi , phương trình đã cho trở thành: .

+) Ta có: nên phương trình có hai nghiệm là và .

Vậy khi thì phương trình (1) có hai nghiệm là và .

b) Tìm các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm.

+) Ta có: .

+) Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy khi thì phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn đẳng thức:

+) Theo câu b) phương trình (1) có nghiệm khi (*).
Khi đó theo định lý Viète, ta có: .
Ta có:

Do đó .

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được các giá trị cần tìm của m là : .