BÀI 21: GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

(13 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình.

Trả lời:

Bước 1. Lập phương trình:

• Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Câu 2: Khi lập phương trình, các đại lượng chưa biết được biểu diễn dựa trên những gì?

Trả lời:

Các đại lượng chưa biết được biểu diễn theo ẩn số và các đại lượng đã biết.

Câu 3: Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Trả lời:

Gọi số mà một bạn đã chọn là x và số bạn kia là x + 5

Tích của hai số là x(x + 5)

Theo đầu bài, ta có phương trình x(x + 5)=150 <=>x² + 5x - 150 = 0 .

Giải phương trình = 25 – 4 . (- 150) = 625 = 25² nên x₁ = 10; x₂ = - 15

Trả lời: Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.

Nếu bạn minh chọn số – 15 thì bạn Lan chọn số – 10 hoặc ngược lại.

Câu 4: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5 cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 cm². Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.

Trả lời:

Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu (x > 0) (cm)

Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: 3x (cm)

Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: x + 5 (cm)

Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: 3x + 5 (cm)

Theo đề bài ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153

<=> 3x² + 20x - 128 = 0 <=> x = 4 (thỏa mãn) hay x = - 32/3 < 0(L)

Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm và 4 cm.

Câu 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tính kích thước của mảnh đất, biết rằng diện tích mảnh đất là 150 m²

Trả lời:

Gọi chiều rộng của mảnh đất là a (m), a > 0

Khi đó ta có chiều dài của mảnh đất là a + 5(m)

Theo bài ra ta có diện tích của mảnh đất m² nên: a(a - 15) = 150 => a = 10(tm) ; a = - 15 (loại)

Vậy chiều rộng là 10m, chiều dài là 15 m.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ 1 sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Trả lời:

Gọi x là số chi tiết máy của tổ I sản xuất trong tháng đầu (0<x<800, x∈N)

Số chi tiết máy của tổ II sản xuất trong tháng đầu là: 800 – x (chi tiết).

Số chi tiết máy tổ 1 vượt mức ở tháng thứ hai là: x (chi tiết)

Số chi tiết máy tổ II vượt mức ở tháng thứ hai là: (800-x) (chi tiết)

Số chi tiết máy cả hai tổ vượt mức trong tháng thứ hai là: 945-800=145 (chi tiết)

Ta có phương trình: x + (800-x) = 145

15x – 20x + 16000 <=> x = 300 (nhận)

Vậy trong tháng đầu tổ 1 sản xuất được 300 chi tiết máy; Tổ II sản xuất được 800-300 = 500 chi tiết máy.

Câu 2: Một đội xe cần chở 12 tấn hàng. Khi làm việc, do 2 xe cần điều đi nơi khác. Nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?

Trả lời:

Gọi số xe của đội lúc đầu là x(xe) (xe N, x>12)

Theo dự định mỗi xe phải chở (tấn hàng)

Số xe trên thực tế là: x - 2 (xe).

Thực tế mỗi xe phải chở: (tấn hàng)

Ta có phương trình: - = 16

<=> 120x – 120(x – 2) = 16x(x – 2) <=> x² – 2x - 15 = 0

<=> x = 5 (nhận) hoặc x = -3 (loại)

Vậy đội lúc đầu có 5 xe.

Câu 3: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Trả lời:

Gọi x (sp) là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch (x > 0)

Số ngày theo kế hoạch là:

Số ngày thực tế là:

Ta có phương trình: - = 2

<=> 1100(x + 5) – 1100x = 2x(x + 5) <=> 2x2 + 10x – 5500 = 0

<=> x = 50 (nhận) hoặc x = -55 (loại)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm.

Câu 4: Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng?

Trả lời:

Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là x(ha) (Điều kiện: x > 0 )

Theo dự định, thời gian trồng hết 75 ha rừng là: (tuần)

Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được: x + 5 (ha)

Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết 80 ha rừng là: 80/(x + 5) (tuần)

Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là 1 tuần nên ta có phương trình:

<=> 75( x + 5) – 80x = x(x + 5)

<=> x = 15 (nhận) hoặc x = -25 (loại)

Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha rừng.

Câu 5: Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B.

Trả lời:

Đặt x (km/h) là vận tốc đi từ A đến B, vậy vận tốc đi từ B đến A là x + 9 (km/h)

Do giả thiết ta có:

<=>

<=> x(x + 9) = 20(2x + 9)

<=> x² – 31x – 180 = 0

<=> x = 36 (do x > 0)

Vậy vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là 36 km/h

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Biết rằng đường cong trong hình bên dưới là một parabol y = ax²

a) Xác định hệ số a.

b) Tìm các điểm trên parabol có hoành độ bằng 6.

c) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng -25.

Trả lời:

a) Từ đồ thị ta có điểm (2; -1) thuộc parabol y = ax² nên:

-1 = a.2²

a =

b) Từ câu a, ta có parabol y = x²

Với x = 6 nêm y = x²

Vậy điểm cần tìm là (6; -9)

c) Thay y = -25 vào parabol y = x² ta có:

-25 = x²

x² = 100

x = -10 hoặc x = 10

Vậy các điểm cần tìm là (-10; -25); (10; -25)

Câu 2: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị là Parabol (P).

a) Xác định a đề (P) đi qua điểm A(; 4)

b) Với giá trị a vừa tìm được, hãy:

+ Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ

+ Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng 2

+ Tìm các điểm trên (P) cách đều hai trục tọa độ.

Trả lời:

a) A(; 4) (P) => 4 = a(()² => a = 2

Vậy a = 2 là giá trị cần tìm.

b) Ta có: y = 2x²

+ Vẽ (P):

+ Thay y = 2 vào hàm số y = 2x² ta có:

2 = 2x²

x = 1 ⇒(1; 2); (-1; 2)

+ Gọi M(x₀; y₀) (P) => y₀ = 2x₀²

M cách đều Ox, Oy nên ta có:

|x₀| = |y₀|

|x₀| = |2x₀²|

hoặc
hoặc
hoặc
Giải
hoặc
Giải
hoặc
Do đó
.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là m (Bỏ qua độ dày của cổng).

a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi Parabo (P): y = a² với a < 0 là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh a = -1 .

b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

Trả lời:

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên MA = NA = 2m.

Theo giả thiết ta có OM = ON =

Áp dụng định lý Pythagore ta tính được: OA = 4 vậy M(2; - 4), N(- 2; - 4)

Do M(2; -4) thuộc parabol nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình: (P): y = a.x² hay -4 = a.2² = a = -1 và (P): y = -x² .

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

Xét đường thẳng (ứng với chiều cao của xe). Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

suy ra tọa độ hai giao điểm là .

Vậy xe tài có thể đi qua cổng.

Câu 2: Cho hàm số y = 2x² .Hãy tìm

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-4; -2].

b) Giá trị lớn nhỏ của hàm số trên đoạn [1;3].

Trả lời:

Vẽ đồ thị hàm số y = 2x²

Ta có bảng giá trị:

Đồ thị y = 2x² như sau:

a) Ta thấy, trong đoạn [-4; -2], giá trị của y cao nhất khi x = -4. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-4; -2] là 32.

b) Ta thấy, trong đoạn [1;3], giá trị của y lớn nhất khi x = 3 và nhỏ nhất khi x = 1.

Vậy giá trị của y lớn nhất khi x = 3 <=> y = 18

giá trị của y nhỏ nhất khi x = 1 <=> y = 2