BÀI 29: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

(14 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (5 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa về tứ giác nội tiếp đường tròn.

Trả lời:

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Câu 2: Em hãy nêu định lí về tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 độ.

Trả lời:

Định lí : Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

Câu 3: Đường tròn ngoại tiếp của hình vuông và hình chữ nhật có đặc điểm gì?

Trả lời:

Đường tròn ngoại tiếp của chúng có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính bằng một nửa độ dài đường chéo.

Câu 4: Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp được đường tròn? Giải thích.

Trả lời:

Ở hình a) và hình b), tứ giác không nội tiếp đường tròn vì có một đình tứ giác không nằm trên đường tròn

Ở hình c), tứ giác nội tiếp đường tròn vì 4 đỉnh tứ giác nằm trên đường tròn

Câu 5: Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp được đường tròn? Giải thích.

Trả lời:

Ở hình a) và hình b), tứ giác nội tiếp đường tròn vì 4 đỉnh tứ giác nằm trên đường tròn

Ở hình c) và hình d), tứ giác không nội tiếp đường tròn vì có một đỉnh tứ giác không nằm trên đường tròn

Câu 6: Trong các đường tròn (O) sau, đường tròn nào ngoại tiếp tứ giác ABCD? Giải thích.

Trả lời:

Ở hình 1) và hình 3), đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD vì nó đi qua cả bốn đỉnh của tứ giác ABCD.

Ở hình 2), đường tròn (0) là đường tròn không ngoại tiếp tứ giác ABCD vì nó không đi qua đỉnh D của tứ giác.

2. THÔNG HIỂU (4 CÂU)

Câu 1: Trong hình vẽ dưới đây, cho a = 140 độ

a) Tính các góc , của tứ giác ABCD

b) Tính +

Trả lời:

a) Ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC)

+ = (tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn)

+ =

= -

=

b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường trong nên + =

Câu 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong trường hợp sau: = 45 và = 155

Trả lời:

Ta có: (tứ giác nội tiếp đường tròn )

Ta có: (tứ giác nội tiếp đường tròn )

Câu 3: Trong hình vẽ dưới đây, cho ADC = 40 độ, BCD = 100 độ

a) Tính các góc , của tứ giác ABCD

b) Tính

Trả lời:

a) Ta có:

b) Ta có:

Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC . Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh ADHE là tứ giác nội tiếp

Trả lời:

Vì BD, CE là các đường cao của tam giác ABC nên

• = = 90 độ

Xét tứ giác ADHE có + = 90 + 90 = 180

=> ADHE là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180)

3. VẬN DỤNG (2 CÂU)

Câu 1: Cho nửa đường tròn đường kính AD. Lấy điểm B thuộc nửa đường tròn (B khác A và D), trên cung BD lấy điểm C (C khác B và D). Hai dây AC, BD cắt nhau tại điểm E. Kẻ đoạn thẳng EF vuông góc với AD (F∈ AD):

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

b) Chứng minh AE.AC = AF.AD.

Trả lời:

Ta có hình vẽ:

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
B thuộc (O) ⇒ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ = 90° EFAD (gt) ⇒ = 90°

Xét tứ giác ABEF có mà 2 góc này đối nhau
⇒ABEF là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AE.AC = AF.AD :
Có C ∈ (O) ⇒ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ∆AFE và ∆ACD có:
chung,

⇒ ∆AFE ∆ACD (g . g) ⇒ AE.AC = AF.AD (đpcm).

Câu 2: Cho tam giác nhọn . Đường tròn đường kính cắt lần lượt tại . Đường thẳng cắt tại và đường thẳng cắt tại .
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Trả lời:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

- Xét đường tròn có:
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra là trực tâm của tam giác hay

- Xét tứ giác có:

tứ giác có tổng hai góc đối bằng nên tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

Gọi là trung điểm .
Xét tam giác có và là đường trung tuyến nên

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho đường tròn và dây cố định . Kẻ đường kính vuông góc với dây tại E . Lấy điểm C thuộc dây khác . Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm K ( K khác B)
a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh
c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng là giao điểm của hai đường thẳng và BI. Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của tam giác .

Trả lời:

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có : (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
tại E nên
Xét tứ giác có mà hai góc này đối nhau nên là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh

Ta có nên B là điểm chính giữa cung
(2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét và có :
chung,

c) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của tam giác
Tam giác có do do
là hai đường cao của là trực tâm là đường cao của tam giác

Mà là đường kính của đường tròn
Xét có :
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
Tứ giác nội tiếp (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

là tia phân giác của
Tứ giác có : mà hai góc này đối nhau
là tứ giác nội tiếp
(cùng chắn cung
là tia phân giác của
Tam giác có :
là tia phân giác của là tia phân giác của
Mà C là giao điểm của là tâm đường tròn nội tiếp
Vậy C cách đều ba cạnh của tam giác

Câu 2: Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn . Gọi là chân đường cao hạ từ đỉnh của tam giác và là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng
a) Chứng minh là tứ giác nôi tiếp
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
c) Gọi là trung điểm của cạnh . Tính tỉ số

Trả lời:

a) Chứng minh là tứ giác nội tiếp

Ta có :

Tứ giác có cùng nhìn cạnh AB dưới 1 góc không đổi
là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Kéo dài cắt đường tròn tại K khi đó là đường kính của đường tròn tâm O , ta có C thuộc đường tròn (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác nội tiếp (hai góc cùng bù với )

Xét ( O ) có : (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK )
mà hai góc này ở vị trí so le trong
Ta có

c) Gọi là trung điểm của cạnh . Tính tỉ số

Gọi N là trung điểm của
Ta có là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác
Tam giác có : lần lượt là trung điểm
Suy ra là đường trung bình của tam giác
Mà
Từ (1) và là đường trung trực của