BÀI 32: HÌNH CẦU

(16 CÂU)

1. NHẬN BIẾT (4 CÂU)

Câu 1: Em hãy nêu cách nhận biết hình cầu.

Trả lời:

• Khi quay nửa hình tròn (O; R) một vòng quanh đường kính AB cố định thì được một hình cầu tâm O, bán kính R.
• Nửa đường tròn khi quay tạo nên mặt cầu.

Câu 2: Khi cắt mặt cầu, hình cầu bởi một mặt phẳng, ta sẽ được gì?

Trả lời:

Nếu cắt một hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và hình cầu (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

Nếu cắt một mặt cầu bán kính R bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt phẳng và mặt cầu là một đường tròn (như trong hình).

• Khi mặt phẳng đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính R và được gọi là đường tròn lớn.
• Khi mặt phẳng không đi qua tâm thì đường tròn đó có bán kính nhỏ hơn R.

Câu 3: Em hãy nêu công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Trả lời:

Công thức tính diện tích mặt cầu: S = 4R²

Công thức tính thể tích hình cầu: V = R³

Câu 4: Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính bằng 9 cm.

Trả lời:

Diện tích mặt cầu là: S = 4R² = 49² = 324 (cm²)

Thể tích hình cầu là: V = R³ = 9³ = 972 (cm³)

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1: Bạn Minh lấy thước dây đo vòng theo đường xích đạo của quả địa cầu trong thư viện được độ dài 94,2 cm. Hãy tính:

a) Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu

b) Thể tích của quả địa cầu

Trả lời:

Ta có: chu vi của đường tròn xích đạo là 94,2 cm nên:

R =

Do đó:

Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu là S = 4R² = 900 cm²

Thể tích của quả địa cầu V = R³ = 4500 cm³

Câu 2: Quả bóng bàn có số đo diện tích bề mặt (tính bằng cm²) gấp 1,5 lần số đo thể tích của nó (tính bằng cm³). Tính bán kính, diện tích và thể tích của quả bóng bàn

Trả lời:

Theo đề bài, ta có: 4R² = 1,5. R³ => R = 2 cm

Do đó, diện tích quả bóng là S = 4 R² = 16 cm²

Thể tích của quả bóng là V = R³ = (cm³)

Câu 3: Nếu bán kính của một mặt cầu tăng gấp đôi, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu sẽ thay đổi như thế nào?

Trả lời:

Nếu bán kính của mặt cầu tăng gấp đôi (R’ = 2R)

• Diện tích mặt cầu: S’ = 4 (2R)² = 4.4R² = 4S
• Diện tích tăng lên gấp 4 lần
• Thể tích hình cầu: V’ = (2R)³ = 8³ = 8V
• Thể tích tăng lên gấp 8 lần

Vậy, khi bán kính tăng gấp đôi, diện tích tăng gấp 4 lần và thể tích tăng gấp 8 lần.

Câu 4: Một hình cầu đặt vừa khít trong một hình trụ có chiều cao là 18cm. Tính thể tích phần không gian nằm trong hình trụ nhưng nằm bên ngoài hình cầu.

Trả lời:

Vì hình cầu đặt vừa khít trong hình trụ nên chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy và bằng đường kính của hình cầu.

Bán kính đáy của hình cầu là 9cm.

Khi đó, thể tích hình trụ là V1 = = =1458 cm³

Thể tích hình cầu là V2 = R³ = 972 cm³

Vậy thể tích cần tính là: V = V1 – V2 = 486 cm³

Câu 5: Một trái bưởi có đường kính 18 cm. Lớp vỏ dày 1 cm. Tính thể tích của lớp vỏ bưởi.

Trả lời:

Bán kính trái bưởi là R = 9cm. Bán kính trái bưởi sau khi gọt hết vỏ là r = 9 – 1 = 8 cm

Khi đó, thể tích lớp vỏ bưởi là:

V = cm³

Câu 6: Một mặt cầu có bán kính R = 10cm. Cho một mặt phẳng cắt mặt cầu cách tâm một khoảng d = 6cm. Hãy tính bán kính của đường tròn giao giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Trả lời:

Bán kính của đường tròn giao được tính bằng công thức: r =

Thay R = 10 và d = 6:

r = (cm)

Vậy, bán kính của đường tròn giao là r = 8 cm

3. VẬN DỤNG (4 CÂU)

Câu 1: Một bể chứa nước hình cầu có đường kính 10 m. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ 2m³ / phút. Hỏi sau bao lâu thì bể đầy nước?

Trả lời:

Bán kính bể: R = m

Thể tích bể: V = = = m³

Thời gian bơm đầy bể:

t = (phút)

Với

• t phút 4 giờ 22 phút

Vậy, sau 4 giờ 22 phút thì bể đầy nước.

Câu 2: Cho hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu các thể tích bằng 1332 cm³. Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu.

Trả lời:

Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r.

Ta có: R – r = 3 hay R + r = 3

Thể tích hình cầu lớn là: V1 =

Thể tích hình cầu nhỏ là V2 =

Vì V1 – V2 = 1332 (cm³) nên (R³ – r³)= 1332 <=> R³ – r³ = 999

Do đó (r + 3)³ – r³ = 999 <=> r² + 3r – 108 = 0

<=> r1 = -12 (loại); r2 = 9 (chọn)

Vậu bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm.

Diện tích mặt cầu lớn là: S1 = 4R² = 412² = 576 (cm²)

Diện tích mặt cầu nhỏ là: S2 = 4r² = 49² = 324 (cm²)

Hiệu các diện tích của hai mặt cầu là S = S1 – S2 = 576 – 324 = 252 (cm²)

Câu 3: Một thợ mộc chế tạo một quả cầu gỗ có thể tích 288 cm³ . Sau đó, người thợ phủ sơn quanh quả cầu với độ dày 0,2 cm. Tính thể tích lớp sơn.

Trả lời:

Do ban đầu, quả cầu gỗ có thể tích là 288 cm³ , nên ta tính được bán kính ban đầu của quả cầu như sau:

V = = 288

• R³ = 216
• R = 6 cm

Bán kính mới sau khi phủ sơn là: R mới = 6 + 0,2 = 6,2 cm

Thể tích quả cầu mới là:

V mới = R³mới = cm³

Thể tích sơn là:

V sơn = V mới – V cũ = = 29,77 cm³

Vậy, thể tích lớp sơn là 29,77 cm³

Câu 4: Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng:

a) Thể tích hình cầu bằng thể tích hình trụ;

b) Diện tích mặt cầu bằng diện tích toàn phần hình trụ.

Trả lời:

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao của hình trụ là 2R

a) Thể tích hình cầu là: V1 =

Thể tích hình trụ là V2 = = 2

Ta có:

b) Diện tích mặt cầu là: S1 = 4

Diện tích hình trụ là: S2 =

Ta có:

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1: Cho đoạn thẳng AB = 24 cm. Lấy điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về cùng một phía của Ab ba nửa đường tròn đường kính Ab, AC và BC. Quay toàn bộ hình vẽ một vòng quanh đường kính AB cố định, ta được ba hình cầu. Tìm thể tích lớn nhất của phần không gian được giới hạn bởi ba hình cầu.

Trả lời:

Đặt AC = 2x thì BC = 24 – 2x

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AB là 12cm

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AC là x

Bán kính của nửa đường tròn đường kính BC là 12 – x

Thể tích của ba hình cầu đường kính AB, AC và BC lần lượt là:

Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là:

V = 2304 -

=2304 – Vmax <=> (x² – 12x + 48) min <=> (x – 6)² + 12 min <=> x = 6

Khi đó max V = 1728 cm³ khi AC = 12cm hay khi C là trung điểm của AB.

Câu 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Ta quay nửa đường tròn nội tiếp và nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác đều này là một vòng quanh AH. Tính

a) Tỉ số diện tích của hai mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình nón.

b) Tỉ số thể tích của hai hình cầu nói trên.

c) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp hình nón.

Trả lời:

Gọi R và r lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Ta có: R = 2r

Vì BC = a nên HC = . Và AH = ; OA =

a) Tỉ số diện tích hai mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là

b) Tỉ số thể tích hai hình cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình nón là

c)

Thể tích hình cầu ngoại tiếp là

Thể tích hình nón là

Thể tích phần không gian giới hạn bởi hình nón và hình cầu ngoại tiếp là