CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một cocirc;ng ty tuyển một chuyecirc;n gia về cocirc;ng nghệ thocirc;ng tin với mức lương năm đầu lagrave; 240 triệu đồng vagrave; cam kết sẽ tăng thecirc;m 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đoacute;. Tiacute;nh tổng số lương magrave; chuyecirc;n gia đoacute; nhận được sau khi lagrave;m việc cho cocirc;ng ty 10 năm (lagrave;m trograve;n đến triệu đồng).

CHƯƠNG II. DAtilde;Y SỐ. CẤP SỐ CỘNG VAgrave; CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I 7: CẤP SỐ NHAcirc;N

NỘI DUNG BAgrave;I HỌC

Định nghĩa

Số hạng tổng quaacute;t

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhacirc;n

1. ĐỊNH NGHĨA

Cho datilde;y số với

1. a) Viết năm số hạng đầu của datilde;y số nagrave;y.
2. b) Dự đoaacute;n hệ thức truy hồi liecirc;n hệ giữa vagrave; .

Giải

1. a) Năm số hạng đầu của datilde;y số đatilde; cho lagrave;

u₁ = 3 . 2¹ = 6; u₂ = 3 . 2² = 12; u₃ = 3 . 2³ = 24; u₄ = 3 . 2⁴ = 48; u₅ = 3 . 2⁵ = 96

1. b) Ta coacute;: suy ra

Hệ thức truy hồi liecirc;n hệ giữa u_n vagrave; u_{n ndash; 1} lagrave;:

u₁ = 6, u_n = u_{n ndash; 1} . 2 với n ge; 2

KẾT LUẬN

• Cấp số nhacirc;n lagrave; một datilde;y số (hữu hạn hay vocirc; hạn), trong đoacute; kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều lagrave; tiacute;ch của số hạng đứng ngay trước noacute; với một số khocirc;ng đổi q. Số q được gọi lagrave; cocirc;ng bội của cấp số nhacirc;n.
• Cấp số nhacirc;n với cocirc;ng bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

với .

CAcirc;U HỎI

Datilde;y số khocirc;ng đổi a, a, a, hellip; Coacute; phải lagrave; một cấp số nhacirc;n khocirc;ng?

Giải

Datilde;y số khocirc;ng đổi a, a, a, ... lagrave; một cấp số nhacirc;n với cocirc;ng bội q = 1.

Viacute; dụ 1: (SGK ndash; tr52)

Cho cấp số nhacirc;n coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội . Hatilde;y viết năm số hạng đầu của cấp số nhacirc;n nagrave;y.

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhacirc;n nagrave;y lagrave;:

Viacute; dụ 2: (SGK ndash; tr52)

Cho datilde;y số với Chứng minh rằng datilde;y số nagrave;y lagrave; một cấp số nhacirc;n. Xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội của noacute;.

Giải

Với mọi ta coacute;

tức lagrave; với mọi

Vậy lagrave; cấp số nhacirc;n với số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội

Luyện tập 1

Cho datilde;y số với . Chứng minh rằng datilde;y số nagrave;y lagrave; một cấp số nhacirc;n. Xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội của noacute;.

Giải

Với mọi n ge; 2, ta coacute;:

Tức lagrave; với mọi .

Vậy lagrave; một cấp số nhacirc;n với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 vagrave; cocirc;ng bội q = 5.

02 SỐ HẠNG TỔNG QUAacute;T

Cho cấp số nhacirc;n với số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội .

1. a) Tiacute;nh caacute;c số hạng theo vagrave; .
2. b) Dự đoaacute;n cocirc;ng thức tiacute;nh số hạng thứ theo vagrave; .

Giải

1. a) Ta coacute;: u₂= u₁. q; u₃ = u₂ . q = (u₁ . q) . q = u₁ . q²;

u₄ = u₃ . q = (u₁ . q²) . q = u₁ . q³; u₅ = u₄ . q = (u₁ . q³) . q = u₁ . q⁴.

1. b) Dự đoaacute;n cocirc;ng thức tiacute;nh số hạng thứ n theo u₁vagrave; q lagrave;

u_n = u₁ . q^{n ndash; 1} với n ge; 2.

KẾT LUẬN

Nếu một cấp số nhacirc;n coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội q thigrave; số hạng tổng quaacute;t của noacute; được xaacute;c định bởi cocirc;ng thức

với .

Viacute; dụ 3: (SGK ndash; tr53)

Tigrave;m năm số hạng đầu vagrave; số hạng thứ 100 của cấp số nhacirc;n:

Giải

Cấp số nhacirc;n nagrave;y coacute; số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội

Do đoacute; năm số hạng đầu lagrave;:

Số hạng thứ 100 lagrave;

Viacute; dụ 4: (SGK ndash; tr53)

Cho một cấp số nhacirc;n gồm caacute;c số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1 536 vagrave; số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tigrave;m số hạng thứ 20 của cấp số nhacirc;n đoacute;.

Giải

Giả sử lagrave; số hạng đầu vagrave; lagrave; cocirc;ng bội của cấp số nhacirc;n đatilde; cho. Ta coacute;:

Từ đacirc;y suy ra , tức lagrave; hoặc .

Với , ta tiacute;nh được

Với , ta tiacute;nh được (trường hợp nagrave;y loại vigrave; theo giả thiết).

Giải

Do đoacute; vagrave;

Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhacirc;n đatilde; cho lagrave;

Luyện tập 2

Trong một lọ nuocirc;i cấy vi khuẩn, ban đầy coacute; 5 000 con vi khuẩn vagrave; số lượng vi khuẩn tăng lecirc;n thecirc;m 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thigrave; số lượng vi khuẩn lagrave; bao nhiecirc;u?

Giải

Vigrave; ban đầu coacute; 5 000 con vi khuẩn vagrave; số lượng vi khuẩn tăng lecirc;n thecirc;m 8% mỗi giờ necirc;n số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thagrave;nh một cấp số nhacirc;n với số hạng đầu u₁ = 5 000 vagrave; cocirc;ng bội q = 1,08 vagrave; u₆ lagrave; số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuocirc;i cấy.

Ta coacute;: u₆ = u₁ . q^{6 ndash; 1} = 5 000 . 1,08⁵ asymp; 7 347.

Vậy sau 5 giờ thigrave; số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

03 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHAcirc;N

HĐ 3:

Cho cấp số nhacirc;n với số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội

Để tiacute;nh tổng của số hạng đầu

Hatilde;y lần lượt thực hiện caacute;c yecirc;u cầu sau:

1. a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trecirc;n theo vagrave; để được biểu thức tiacute;nh tổng chỉ chứa vagrave; .
2. b) Từ kết quả ở phần a), nhacirc;n cả hai vế với để được biểu thức tiacute;nh chỉ chứa vagrave; .
3. c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a) vagrave; b) vagrave; giản ước caacute;c số hạng đồng dạng để tiacute;nh theo vagrave; Từ đoacute; suy ra cocirc;ng thức tiacute;nh .

Giải

1. a) Ta coacute;: u₂= u₁. q; ...;

u_{n ndash; 1} = u₁ . q^{(n ndash; 1) ndash; 1} = u₁ . q^{n ndash; 2}; u_n = u₁ . q^{n ndash; 1}.

Do đoacute;, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n ndash; 1} + u_n

= u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n ndash; 2} + u₁ . q^{n ndash; 1} (1).

1. b) Ta coacute;:

q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n ndash; 2} + u₁ . q^{n ndash; 1})

hArr; q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n ndash; 1} + u₁ . qⁿ (2).