BÀI 35. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG (21 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng cm. Gọi là điểm nằm giữa và , cm . là trung điểm của . Tính .

Đáp án:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và

Nên

Suy ra (cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm).

Bài 2: Cho đoạn thẳng cm. là điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và . Tính độ dài đoạn thẳng .

Đáp án:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên

Vì và lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng và nên ta có:

, .

Vì nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và , suy ra M nằm giữa và

Do đó (cm).

Bài 3: Trên tia cho điểm , , , biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và độ dài đoạn gấp đôi độ dài đoạn . Tính độ dài các đoạn , .

Đáp án:

Vì nằm giữa và nên

Vì nằm giữa và ; nằm giữa và nằm giữa và .

Trên tia , ta có ()

Nên điểm D nằm giữa hai điểm và .

Suy ra :

(cm).

Vì nằm giữa hai điểm và

Nên

Từ và ta có:

Theo đề ra: thay vào

Ta có

(cm)

(cm)

Vậy (cm), (cm).

Bài 4: Đoạn thẳng cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng . Gọi , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng, , . Biết độ dài của đoạn thẳng cm. Tính độ dài của đoạn thẳng .

Đáp án:

Vì đoạn thẳng được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn thẳng , , , nên suy ra các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và .

Mặt khác : , , , theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng, , , nên điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và .

Do đó ta có:

Mà, .

Suy ra:

Màvà (do và là trung điểm của và )

Từ và ta có :

(cm).

Vì các điểm , , nằm giữa hai điểm , theo thứ tự nằm giữa và , nằm giữa và , nằm giữa và nên ta có:

Suy ra: .

Mặt khác , lần lượt là trung điểm của , nên ta có: ;

Do đó ta có: (*)

Theo đề bài, thứ tự các điểm chia và thứ tự trung điểm các đoạn thẳng thì là điểm nằm giữa hai điểm , và là điểm nằm giữa hai điểm , .

Do đó ta có: ,

Thay vào (*) ta có: (cm)

Vậy độ dài đoạn thẳng là (cm).

Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài cm được chia thành ba đoạn thẳng không bằng nhau theo thứ tự , và . Gọi, là trung điểm của đoạn thẳng, . Biết độ dài đoạn cm. Tìm độ dài đoạn .

Đáp án:

Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , và .

Vậy hai điểm, nằm giữa hai điểm và .

Vì là trung điểm của nên

là trung điểm của nên

Từ và có :

Vì điểm và điểm nằm giữa hai điểm , và điểm nằm giữa hai điểm ,

Nên:

Suy ra

Suy ra: (cm)

Vậy đoạn (cm)

2. THÔNG HIỂU (6 BÀI)

Bài 1: Trên tia vẽ 2 đoạn thẳng và sao cho ,

a) Điểm có nằm giữa hai điểm O và N không? Tại sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng .

c) Điểm M có là trung điểm của đoạn thẳng không? Tại sao?

d) Lấy E là trung điểm của đoạn thẳng . Tính độ dài đoạn thẳng

Đáp án:

a) Trên tia Ox có (vì ) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.

b) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên ta có:

=> MN = OM - ON = 6 - 3 = 3 (cm)

c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N; nêm điểm M là trung điểm của đoạn thẳng

d) Vì E là trung điểm của đoạn thẳng nên ta có:

EN = x MN = x 3 = 1,5 (cm)

Trên tia NO có (vì ) nên điểm E nằm giữa hai điểm O và N

=>

=> OE = ON - EN = 6 - 1,5 = 4 (cm)

Bài 2: Cho O là điểm thuộc đường thẳng . Trên tia Ox lần lượt lấy các điểm A; B và C sao cho OA = 3cm , OB = 8 cm , OC = 6 cm .

a) Trong ba điểm , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Điểm A có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?

c) Trên tia Oy lấy điểm D sao cho OD = 6cm . So sánh độ dài đoạn thẳng và .

Đáp án:

a) Trên tia có OA < OB (vì 3cm < 8cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

b) Trên tia có OA < OC (vì 3cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và C

=>

=> (cm)

Vì điểm A nằm giữa hai điểm O và C; nên điểm A là trung điểm của đoạn thẳng OC.

c) Vì tia Ox và Oy là hai tia đối nhau mà A Ox, D Oy nên điểm O nằm giữa hai điểm O và D

=> AD = OA + OD = 6 + 3 = 9 (cm)

Vậy (vì )

Bài 3: Trên tia Ax lấy hai điểm và sao cho , .

a. Tính độ dài đoạn .

b. Vẽ tia Ay là tia đối của tia Ax, trên tia Ay lấy điểm sao cho . Tính BD và CD.

Đáp án:

a. Trên tia Ax: , . Vì nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Do đó:

Hay .

b. Vì tia Ay là tia đối của tia Ax, trên tia Ay lấy điểm , trên tia Ax lấy hai điểm và nên điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và .

+ Ta có:

Hay

+ Có:

Hay

Vậy .

Bài 4: Trên tia Ox lấy hai điểm sao cho OA = 2cm , .

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b) Trên tia đối của tia Ox lấy điểm C sao cho . Tính độ dài đọan thẳng AC.

c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OB. Điểm O có là trung điểm của đoạn thẳng CI không? Vì sao?

Đáp án:

a) Trên tia Ox có (vì 2cm < 6cm) nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

=>

=> (cm)

b) Vì OC là tia đối của tia Ox, nên điểm O nằm giữa hai điểm A và C

=> (cm)

c) Vì I là trung điểm của OB nên

OI = OB = x 6 = 3 (cm)

Vì OC và Ox là hai tia đối nhau mà

nên điểm O nằm giữa hai điểm I và C, lại có nên O là trung điểm của đoạn thẳng

Bài 5: Cho đoạn thẳng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và .

Giả sử cm. Tính .

Đáp án:

Do là trung điểm của nên ta có:

Do là trung điểm của nên ta có:

Vậy

Bài 6: Trên tia Ox, lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2cm , OB = 5cm .

a) Tính AB.

b) Vẽ tia Oy là tia đối của tia Ox, trên tia Oy lấy điểm C sao cho OC = 1cm . Tính AC.

c) Điểm A có là trung điểm của BC không? Vì sao?

Đáp án:

a) Trên tia Ox có OA < OB ( 2cm < 5cm)

Nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B.

Suy ra:

b) Vì , và Ox, Oy là hai tia đối nhau nên điểm O nằm giữa hai điểm C và A.

Suy ra:

c) Điểm A là trung điểm của BC vì:

- Hai điểm O , C nằm cùng phía đối với điểm A. Điểm A lại nằm giữa hai điểm O và B nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

và ( = 3cm)

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng và điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là trung điểm của đoạn thẳng .

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Cần thêm điều kiện gì để điểm là trung điểm của đoạn thẳng ? Tại sao?

Đáp án:

a) E là trung điểm của , nên

là trung điểm của , nên (2)

Hai điểm và F thuộc hai tia đối nhau là và , nên điểm Onằm giữa hai điểm và F.

ta có: EF = EO + OF (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta có :

Vậy.

b) Muốn cho là trung điểm của EF thì phải có thêm điểu kiện OE = OF.

Từ (1) và (2) suy ra :

hay .

Tức là,O phải là trung điểm của đoạn (không phải là điểm bất kì ).

Bài 2: Cho đoạn thẳng cm. Trên tia đối của tia lấy điểm . Biết là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng .

a) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .

b) Tìm độ dài đoạn .

Đáp án:

a) Điểm thuộc tia đối của tia nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra

Mà

Suy ra độ dài đoạn lớn hơn độ dài đoạn .

b) Vì là trung điểm của đoạn , nên :

Vì là trung điểm của đoạn , nên :

Mà ( câu a), nên , chứng tỏ điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra :

EF = CF - CE

Thay và vào , ta có : (cm).

Vậy (cm).

Bài 3: Vẽ tia . Trên tia xác định hai điểm và sao cho nằm giữa , và cm, . Tính độ dài các đoạn.

Đáp án:

Vì điểm nằm giữa hai điểm , nên

Mà , cm

Suy ra:

(cm)

Do đó: (cm).

Vậy (cm), (cm).

Bài 4: Trên tia lấy các điểm sao cho cm, cm. Gọi là trung điểm của đoạn thẳng , là trung điểm của đoạn thẳng Tính độ dài các đoạn thẳng , .

Đáp án:

Trên tia , ta có OA < OBnên điểm nằm giữa hai điểm và .

Do đó:

(cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm)

Vì là trung điểm của đoạn thẳng

Nên (cm)

Mà điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và , nằm giữa hai điểm và nên suy ra nằm giữa hai điểm I và .

Suy ra:

(cm).

Vậy AB = 6 (cm), (cm).

Bài 5: Cho ba điểm , , sao cho cm, cm và cm. Lấy điểm nằm trên đường thẳng sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng ?

Đáp án:

Vì do nên điểm nằm giữa hai điểm và .

nằm trên đường thẳng và hai tia , đối nhau.

+) Trường hợp 1: nằm trên tia

Ta có: và là hai tia đối nhau nên nằm giữa và

Khi đó: (cm)

+) Trường hợp 2: nằm trên tia

Trên tia , ta có (do ) nên điểm nằm giữa hai điểm và

Khi đó:

(cm)

Vậy (cm), (cm) .

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng biết cm. Lấy 2 điểm , trên đoạn (, không trùng với , ) sao cho cm.

1. Chứng minh rằng: Điểm nằm giữa hai điểm và .

2. Tính độ dài đoạn thẳng .

Đáp án:

1) Vì điểm nằm trên đọan nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra

Theo bài ra ta có:

Từ và suy ra .

Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .

2) Vì điểm nằm giữa và nên

Ta có:

(cm)

Vậy (cm)

Bài 2: Trên tia cho điểm , , , . Biết rằng nằm giữa và ; nằm giữa và ; cm, cm, cm và .

a) Tính độ dài .

b) Chứng tỏ rằng: Điểm là trung điểm của đoạn thẳng .

Đáp án:

a) Đặt (cm) (cm)

Trên tia có ( vì ) Nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Vì điểm nằm giữa hai điểm và , điểm nằm giữa hai điểm và C

Nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra

Vì nằm giữa và nên: hay

Từ và ta có:

(cm)

Vậy (cm)

b) Theo ta có: mà .

Mà .

Mặt khác điểm nằm giữa 2 điểm và .

Suy ra là trung điểm của đoạn thẳng .

Bài 3: Trên tia lấy hai điểm và , sao cho cm và cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Lấy điểm trên tia , sao cho cm. Tính độ dài đoạn thẳng .

c) Trong trường hợp nằm giữa và . Chứng tỏ rằng là trung điểm của đoạn thẳng .

Đáp án:

a) Trên tia , ta có: () nên nằm giữa hai điểm và

(cm)

Vậy (cm).

b)TH1: nằm giữa và .

Vì nằm giữa và mà nằm giữa hai điểm và

Nên nằm giữa và

(cm)

TH2: nằm giữa và .

Vì nằm giữa và

Nên

(cm).

c)Vì nằm giữa và nên

(cm)

Trên tia , ta có () nên nằm giữa và

(cm).

Do đó: MN = PN (1)

Trên tia , ta có: nên nằm giữa và

Từ và suy ra là trung điểm của

Bài 4: Cho các điểm , , nằm trên cùng một đường thẳng. Các điểm , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng , . Chứng tỏ rằng: . Bài toán có mấy trường hợp, hãy chứng tỏ từng trường hợp đó?

Đáp án:

- Trường hợp 1: Hai điểm , ở cùng phía với , tức là hai tia , trùng nhau.

* Trường hợp này có thể chia làm hai trường hợp nhỏ là : (hai trường hợp chứng minh tương tự).

Giả sử: .

Vì là trung điểm của , nên:

Vì là trung điểm của , nên:

Từ và ta có :

Ta xét , nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra:

nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra: AN = AM + MN => MN = AN - AM

Thay và vào , ta có: hay

* Trường hợp 2: Hai tia và đối nhau

Mà điểm thuộc tia , điểm thuộc tia

Nên và là hai tia đối nhau

là trung điểm của , nên:

là trung điểm của , nên:

Từ và có:

Vì , là hai tia đối nhau, nên điểm nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

Vì và thuộc hai tia đối nhau, nên điểm nằm giữa hai điểm ,

Suy ra:

Thay và vào , ta có : hay .

Bài 5: Đoạn thẳng có độ dài bằng được chia thành ba đoạn thẳng bởi hai điểm chia , theo thứ tự là đoạn , , sao cho . Tìm khoảng cách giữa:

a) Điểm và điểm với là trung điểm của .

b) Điểm và điểm với là trung điểm của đoạn .

Đáp án:

a) Đoạn được chia thành ba đoạn theo thứ tự , , nên suy ra

.

Mà

Suy ra:

Vậy

Vì là trung điểm của , nên :

là trung điểm của , mà nằm giữa hai điểm , nên cũng nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

Từ ta có:

Thay vào có:

(cm)

b) Theo ta có: .

Theo ta có: .

Vậy ta suy ra:

Mà là trung điểm của , nên .

mà ,

Vậy : .

Theo đầu bài, đoạn được chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự , ,

Suy ra

Thay , , vào có:

(cm).

Bài 6: Trên tia vẽ các điểm , , sao cho , , . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng hay không? Vì sao?

Đáp án:

Trên tia ta có () nên nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Trên tia ta có () nên điểm nằm giữa hai điểm và

Suy ra:

(cm)

Từ và suy ra .

Mặt khác Trên tia ta có

suy ra điểm nằm giữa hai điểm và .

Từ và là trung điểm của đoạn thẳng .

Bài 7: Cho đoạn thẳng và trung điểm của nó. Chứng tỏ rằng nếu là điểm thuộc đoạn thẳng thì .

Đáp án:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên:

Vì là trung điểm của nên MA = MB =

Từ , và ta được:

Suy ra:

Bài 8: Trên tia xác định các điểm sao cho (cm), (cm).

a) Tính độ dài đoạn thẳng , biết .

b) Xác định điểm trên tia sao cho .

Đáp án:

a) Trên tia , ta có: nên điểm nằm giữa điểm và điểm .

Suy ra:

Suy ra:

b) Vì nằm trên tia và

=> là điểm thuộc đoạn thẳng sao cho .

Bài 9: 1. Trên tia , lấy điểm và sao cho cm, cm. Tính độ dài đoạn thẳng . Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?

2. Cho đoạn thẳng . Điểm thuộc tia đối của tia . Gọi , theo thứ tự là trung điểm của và . Chứng minh rằng: và .

Đáp án:

1) Chứng minh được nằm giữa và .

Ta có

Điểm có là trung điểm của đoạn thẳng vì : nằm giữa và và

2) Chứng minh rằng: và .

Vì là trung điểm của , điểm thuộc tia đối của tia nên nằm giữa và .

Suy ra:

=> CM = AC - AM

Lại có nằm giữa và

=> CM = AC – AM

Từ và

Vậy

Lại có là trung điểm của

Có , , theo thứ tự là trung điiểm của và

nằm giữa và

Bài 10: Trên tia lấy hai điểm , sao cho cm, cm.

a) Tính độ dài đoạn thẳng .

b) Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của đoạn thẳng . Lấy điểm thuộc đoạn thẳng sao cho . Hỏi có là trung điểm của đoạn thẳng không? Vì sao?

Đáp án:

a) Trên tia có , nên điểm A nằm giữa hai điểm B và O.

Suy ra

(cm)

Vậy (cm) .

b) Vì điểm là trung điểm của đoạn thẳng nên (cm).

Vì điểm thuộc đoạn thẳng và

Nên điểm là trung điểm của đoạn thẳng .

Suy ra (cm).

Vì hai điểm , nằm trên hai tia đối nhau gốc nên điểm nằm giữa hai điểm , .

Suy ra:

(cm)

Trên tia có nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Suy ra:

(cm).

Ta thấy nên điểm không là trung điểm của đoạn thẳng .