BÀI 11. ƯỚC CHUNG. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT (21 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (6 BÀI)

Bài 1: Tìm ước chung của 24 và 40

Đáp án:

• Ư (12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
• Ư (20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}

Từ đó ta có:

Các số 1; 2; 4 đều là ước của hai số 12 và 20 nên: ƯC (12, 20) = {1; 2; 4}

Bài 2: Tìm ước chung của 12 và 30

Đáp án:

ƯC (12, 30) = {1; 2; 3; 6}

Bài 3: Tìm ước chung của 6 và 8

Đáp án:

ƯC (6,8) = {1; 2}

Bài 4: Tìm ước chung lớn nhất của 18 và 30

Đáp án:

ƯC (18, 30) = {1; 2; 3; 6}

ƯCLN (18, 30) = 6

Bài 5: Tìm giao của hai tập hợp sau

a. A = {1;2;3;4;5;6;7} B = {3;4;5;6;7;8;9}

b. C = {cam; chanh;táo} D = {chanh; nho}

c. E = {1;3;5;7;9} G = {2;4;6;8}

Đáp án:

a. A ∩ B = {3;4;5;6;7}

b. C ∩ D = {Chanh}

c. E ∩ G = ∅

Bài 6: Các phân số sau có là phân số tối giản hay không? Hãy rút gọn chúng nếu chưa tối giản ;

Đáp án:

đây là phân số tối giản

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Viết các tập hợp sau:

a. ƯC (24,40)

b. ƯC (20, 30)

Đáp án:

a. ƯC (24, 40) = {1; 2; 4; 8}

b. ƯC (20, 30) = {1; 2; 5; 10)

Bài 2: Cho ba số a = 15, b = 80, c = 120

a) Tìm tập hợp các ước của a, b, c.

b) Tìm tập hợp các ước chung của a và b; b và c; a,b và c

Đáp án:

a) Ta có:

Ư(15) = {1, 3, 5, 15}

Ư(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80}

Ư(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

b) Ta có

ƯC(15, 80) = {1, 5}

ƯC(80, 120) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40}

ƯC(15, 80, 120) = {1, 5}

Bài 3: Tìm năm số tự nhiên sao cho khi chia cho 5,7,11 đều dư 4.

Đáp án:

Gọi x là số tự nhiên khi chia cho 5, 7, 11 đều dư 4.

Ta có x ∈ BC(5, 7, 11) + 4

Lại có: BC(5, 7, 11) = {385, 770, 1155, 1540, 1925,.....}

Vậy, ta được x ∈ X = {389, 774, 1159, 1544, 1929}

Bài 4: Tìm hai số tự nhiên sao cho khi chia cho 3,7,15 đều dư 1

Đáp án:

Gọi x là số tự nhiên khi chia cho 3,7,15 đều dư 1.

Ta có x ∈ BC(3, 7, 15) + 1

Lại có: BC(3, 7,15) = {105, 210, 315,....}

Vậy, ta được x ∈ X = {106, 211}

Bài 5: Tìm số tự nhiên a. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 và a nhỏ hơn 400

Đáp án:

Ta có:

a - 1 ∈ BC(2, 3, 4, 5, 6) → a - 1 ∈ {60, 120, 180, 240, 300, 360}

→ a ∈ {61, 121, 181, 241, 301, 361}

Do a ⋮ 7 nên a = 301

Vậy, ta tìm được a = 301

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Tìm các ước chung của 6x + 5 và 6x (x ).

Đáp án:

Gọi y là một ước chung của 6x + 5 và 6x

=> (6x + 5) y và 6x y => (6x + 5 – 6x) y => 5 y

Vậy Ư (5) = {1; 5} => y {1; 5}

Bài 2: Tìm hai số tự nhiên x, y biết x + y = 20 và ƯCLN (x, y) = 5

Đáp án:

Vì ƯCLN của x và y là 5 => x = 5k và y = 5l; k; l

Khi đó x + y = 5k + 5l = 5( k + l) = 20 => k + l = 4

• k = 1 => l = 3. Ta được x = 5; y = 15. Tương tự: x = 15; y = 5
• k = l = 2 => x = y = 10 và ƯCLN (x; y) = 10 (không thỏa mãn).

Bài 3: Tìm hai số tự nhiên biết x, y biết rằng xy = 420 và ƯCLN (x, y) = 20

Đáp án:

Vì ƯCLN(x; y) = 20 => x 20 và y 20 => x = 20k; y = 20l

Vậy xy = (20k). (20l) = 420 => 400kl = 420

=> Không tồn tại các số k; l . Vậy không tìm được x; y.

Bài 4: Ba lớp có sĩ số lần lượt là 36; 42; 48 cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau mà không thừa người nào. Tính số hàng dọc nhiều nhất có thể xếp được?

Đáp án:

Ta có: 153 = ; 155 = 5 . 31 => ƯCLN (153; 155) = 1

Nhận xét: Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 và 2n + 3, ta có:

ƯCLN (2n + 1; 2n + 3) = 1 (HS tự chứng minh).

Bài 5: Tuấn và Hà mỗi người mua một hộp bút chì màu, trong mỗi hộp đều có từ 2 chiếc bút trở lên và số bút trong mỗi hộp là như nhau. Tính ra Tuấn mua 25 bút, Hà mua 20 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Đáp án:

Số bút trong mỗi hộp bút là ƯC (25, 20) = {1, 5}

Vì số bút trong mỗi hộp từ 2 chiếc trở lên

=> Mỗi hộp bút có 5 chiếc bút

Bài 6: Một mảnh vườn hình chữ nhật chiều dài 120m, chiều rộng 36m. Người ta muốn trồng cây xung quanh vườn sao cho mỗi góc vườn có một cây và khoảng cách giữa hai cây liên tiếp bằng nhau. Hỏi số cây phải trồng ít nhất là bao nhiêu?

Đáp án:

Ta gọi khoảng cách giữa hai cây trồng liên tiếp là a mét thì a phải là số lớn nhất sao cho 120 a; 36 a. Vậy a = ƯCLN (120; 36).

Ta có: 36 = ; 120 = 3. 5 nên a = 3.

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa hai cây trồng liên tiếp là 12m

Chu vi của vườn là: (120 + 36) . 2 = 312 (m)

Tổng số cây trồng ít nhất là: 312 : 12 = 26 (cây).

4. VẬN DỤNG CAO (4 BÀI)

Bài 1: Tìm số tự nhiên n, sao cho: 2n + 7 chia hết cho n + 2

Đáp án:

Ta có: 2n +2 = 2n + 4 + 3.

Để 2n + 7 chia hết cho n + 2 thì n + 2 phải là ước của 3. Ư(3) = {1; 3}

Vậy n = 1

Bài 2: Hãy viết số 100 dưới dạng tổng các số lẻ liên tiếp.

Đáp án:

Giả sử số 100 viết được dưới dạng k số lẻ liên tiếp là n + 2 ; n + 4; ...; n + 2k, ta có: (n + 2) + (n + 4) + ...+ (n + 2k) = 100 với n lẻ, k > 1.

Có hai đáp số: 49; 51 và 1 + 3 +...+ 19.

Bài 3: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a thì dư 38, còn 450 chia cho a thì dư 18.

Đáp án:

Số 398 chia cho a dư 38 nên a là ước của 398 – 38 = 360 và a > 38

Số 450 chia cho a dư 18 nên a là ước của 450 – 18 = 432 và a > 18

Do đó a là ước chung của 398 và 450, đồng thời a > 38.

ƯCLN(360;432) = 72 mà 72 > 38 nên a = 72.

Bài 4: Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a thì dư 14, còn 320 chia cho a thì dư 26.

Đáp án:

Số 350 chia cho a dư 14 nên a là ước của 350 – 14 = 336 và a > 14

Số 320 chia cho a dư 26 nên a là ước của 320 – 26 = 294 và a > 26

Do đó a là ước chung của 336 và 294, đồng thời a > 26.

ƯCLN(360; 432) = 42 mà 42 > 26 nên a = 26.