BÀI 32. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG (28 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (7 BÀI)

Bài 1: Đặt tên cho điểm, đường thẳng ở trên hình vẽ sau:

Đáp án:

Bài 2: Cho hình vẽ, hãy trả lời các câu hỏi sau.

a) Đường thẳng nào đi qua điểm M ; điểm N ; điểm P ; điểm Q ?

b) Đường thẳng nào không đi qua hai điểm N, P ?

Đáp án:

a) Các đường thẳng đi qua các điểm M là a, b, c

Các đường thẳng đi qua các điểm N là d, c

Các đường thẳng đi qua các điểm P là : d, b

Các đường thẳng đi qua các điểm Q là a, d

b) Đường thẳng a không đi qua hai điểm N, P: N ∉ a, P ∉ a.

Bài 3: Cho hình vẽ, hãy trả lời các câu hỏi sau.

a) Đường thẳng nào đi qua hai điểm M, P ?

b) Những đường thẳng nào chứa điểm P ; không chứa điểm P ?

Đáp án:

a) Đường thẳng b đi qua hai điểm M, P : M ∈ b, P ∈ b.

b) Những đường thẳng chứa điểm P là d, b và đường thẳng không chứa điểm P là a, c: P ∈ d , P ∈ b ; P ∉ c , P ∉ a.

Bài 4: Cho hình vẽ, hãy trả lời các câu hỏi sau.

a) Điểm nào nằm trên đường thẳng d ?

b) Đường thẳng nào đi qua điểm Q ?

Đáp án:

a) Những điểm nằm trên đường thẳng d là N, P, Q : N ∈ d, P ∈ d, Q ∈ d.

b) Những đường thẳng đi qua điểm Q là a, d : Q ∈ d, Q ∈ a.

Bài 5: Vẽ từng hình theo cách diễn đạt bằng lời trong trường hợp sau đây :

Hai điểm A và B cùng thuộc đường thẳng a

Đáp án:

Bài 6: Vẽ từng hình theo cách diễn đạt bằng lời trong trường hợp sau đây :

Đường thẳng b không đi qua hai điểm M và N

Đáp án:

Bài 7: Vẽ từng hình theo cách diễn đạt bằng lời trong trường hợp sau đây :

Đường thẳng c đi qua hai điểm H, K và không chứa hai điểm U, V

Đáp án:

2. THÔNG HIỂU (7 BÀI)

Bài 1: Điểm X nằm trên cả hai đường thẳng d và t, điểm Y chỉ thuộc đường thẳng d và nằm ngoài đường thẳng t, đường thẳng t đi qua điểm Z, còn đường thẳng d không chứa điểm Z

Đáp án:

Bài 2: Điểm U nằm trên cả hai đường thẳng m, n và không thuộc đường thẳng p; điểm V thuộc cả hai đường thẳng n, p và nằm ngoài đường thẳng m; hai đường thẳng p, m cùng đi qua điểm R còn đường thẳng n không chứa điểm R.

Đáp án:

Bài 3: Dựa vào hình và gọi tên:

a) Tất cả bộ ba điểm thẳng hàng;

b) Bốn bộ ba điểm không thẳng hàng.

Đáp án:

a) Các bộ ba điểm thẳng hàng:

b) Bốn bộ ba điểm không thẳng hàng:

Bài 4: Dựa vào hình và gọi tên:

a) Tất cả bộ ba điểm thẳng hàng;

b) Bốn bộ ba điểm không thẳng hàng.

Đáp án:

a) Các bộ ba điểm thẳng hàng:

(M; N; X); (M; P; Y); (M; Q; Z); (N; P; Q); (X; Y; Z)

b) Bốn bộ ba điểm không thẳng hàng:

(M; N; Y); (M; N; Z); (M; N; P); (M; N;Q)

Bài 5: Hãy vẽ sơ đồ trồng 7 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 3 cây.

Đáp án:

Bài 6: Hãy vẽ sơ đồ trồng 6 cây thành 4 hàng, mỗi hàng 3 cây.

Đáp án:

Bài 7: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây.

Đáp án:

3. VẬN DỤNG (7 BÀI)

Bài 1: Có 9 cây, hãy trồng thành 8 hàng sao cho mỗi hàng có 3 cây.

Đáp án:

Theo hình 1 (mỗi điểm trên hình vẽ là một cây).

Hình 1

Bài 2: Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 cây thành 5 hàng, mỗi hàng 4 cây (Giải bằng 4 cách).

Đáp án:

Cách 1	Cách 2
Cách 3	Cách 4

Bài 3: Cho 5 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm đó. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Đáp án:

Cách 1: Vẽ hình rồi liệt kê các đường thẳng đó (Chỉ dùng khi chỉ có ít điểm).

Cách 2: Bằng cách tính:

Lấy một điểm bất kì (chẳng hạn điểm ), còn lại 4 điểm phân biệt ta nối điểm với 4 điểm còn lại đó được 4 đường thẳng.

Với 5 điểm đã cho ta có: 4 đường × 5 điểm.

Nhưng với cách làm trên, mỗi đường ta đã tính hai lần.

Chẳng hạn, khi chọn điểm ta nối với , ta có đường thẳng . Nhưng khi chọn điểm , ta nối với , ta cũng có đường thẳng .

Hai đường thẳng này trùng nhau nên ta chỉ tính là một đường.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

Bài 4: Cho điểm ( và ) trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Biết rằng có tất cả đường thẳng. Tính .

Đáp án:

Ta có nên .

Vậy .

Bài 5: Cho điểm, trong đó có điểm thẳng hàng. Cứ qua điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm , biết vẽ được tất cả đường thẳng.

Đáp án:

Giả sử trong điểm, không có điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là:

.

Trong điểm không có điểm nào thẳng hàng. Số đường thẳng vẽ được là: .

Vì có điểm thẳng hàng nên qua điểm này ta chỉ vẽ được đường thẳng.

Ta có:

Vậy .

Bài 6: a) Cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ được một đường thẳng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi như trên với 5 điểm?

Đáp án:

a) Qua kẻ được 3 đường thẳng , , .

Qua kẻ được 2 đường thẳng , .

Qua kẻ được 1 đường thẳng .

Qua không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

b) Nếu cho 5 điểm , , , , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì

Qua kẻ được 4 đường thẳng , , , .

Qua kẻ được 3 đường thẳng , , .

Qua kẻ được 2 đường thẳng , .

Qua kẻ được 1 đường thẳng .

Qua không còn kẻ thêm được đường thẳng nào mới.

Vậy số đường thẳng vẽ được là: (đường thẳng).

Bài 7: a) Có điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay điểm bởi điểm ( và ) thì số đường thẳng là bao nhiêu?

b) Cho điểm trong đó có đúng điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Đáp án:

a) Kẻ từ một điểm bất kỳ tới các điểm còn lại vẽ được đường thẳng.

Làm như vậy với điểm nên có (đường thẳng).

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính lần.

Do vậy số đường thẳng thực sự có là: (đường thẳng).

Lập luận tương tự có điểm thì có: (đường thẳng).

b) Nếu điểm đã cho không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được đường thẳng (câu a).

Với điểm, không có điểm nào thẳng hàng vẽ được: (đường thẳng)

Còn nếu điểm này thẳng hàng thì chỉ vẽ được đường thẳng.

Do vậy số đường thẳng bị giảm đi là: (đường thẳng)

Số đường thẳng cần tìm là: (đường thẳng)

4. VẬN DỤNG CAO ( 7 BÀI)

Bài 1: a) Cho đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm có được.

b) Cho đường thẳng (, ) trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cũng đi qua một điểm. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là .

Tính .

Đáp án:

a) Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại tạo thành giao điểm.

Có đường thẳng nên có giao điểm, nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có:

(giao điểm)

Nếu thay bởi ( và ) thì số giao điểm có được là: (giao điểm)

b) Theo câu a ta có:

.

Vậy .

Bài 2: Cho điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong điểm đó?

Đáp án:

Số đường thẳng tạo bởi điểm phân biệt là: (đường thẳng).

Số đường thẳng tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: (đường thẳng).

Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: (đường thẳng).

Vậy số đường thẳng tạo thành là: (đường thẳng)

Bài 3: Cho điểm trong đó chỉ có điểm thẳng hàng. Tính số đường thẳng đi qua hai trong điểm trên.

Đáp án:

Qua điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được:

(đường thẳng)

Do có điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là:

(đường thẳng)

Vậy qua điểm trong đó chỉ có điểm thẳng hàng ta vẽ được:

(đường thẳng)

Bài 4: Trên tia vẽ các điểm ; ; . Nếu trong mặt phẳng chứa tia vẽ thêm các điểm ; ; ; ...; ;. Trong các điểm ; ; ; ...; ; có đúng 3 điểm thẳng hàng và cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng như thế? Tại sao?

Đáp án:

Giả sử trong các điểm ; ; ; ...; ; không có ba điểm nào thẳng hàng.

Từ một điểm bất kỳ trong ta vẽ được đường thẳng qua các điểm còn lại trong .

Làm như thế với điểm ta được (đường thẳng).

Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần nên tất cả có (đường thẳng).

Qua 3 điểm thẳng hàng chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 3 điểm này không thẳng hàng sẽ vẽ được số đường thẳng là: (đường thẳng).

Vì trong có đúng ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là (đường thẳng)

Vậy số đường thẳng cần tìm là: (đường thẳng).

Bài 5: Cho đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng.

Đáp án:

Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại nên tạo ra giao điểm.

Có đường thẳng nên có: (giao điểm).

Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: (giao điểm)..

Vậy số giao điểm là (giao điểm).

Bài 6: Cho đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Đáp án:

Mỗi đường thẳng cắt đường thẳng còn lại tạo nên giao điểm. Mà có đường thẳng nên có: giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần.

Vậy số giao điểm thực tế là: (giao điểm).

Bài 7: Cho đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là . Tính .

Đáp án:

Trong đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, số giao điểm của các đường thẳng đó là .

Mà số giao điểm là , nên:

.

Vậy .