BÀI 33. ĐIỂM NẰM GIỮA HAI ĐIỂM. TIA (27 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (11 BÀI)

Bài 1: Vẽ ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho:

a) Điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

b) Điểm A, B nằm cùng phía đối với điểm C.

c) Điểm A không nằm giữa hai điểm B và C.

Đáp án:

a) Điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

b) Điểm A, B nằm cùng phía đối với điểm C.

c) Điểm A không nằm giữa hai điểm B và C.

Bài 2: Cho hình vẽ sau:

a) Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song.

b) Hãy chỉ ra 3 cặp đường thẳng cắt nhau và xác định giao điểm của chúng.

Đáp án:

a) Các cặp đường thẳng song song là: và ; và

b) Các cặp đường thẳng cắt nhau:

- và cắt nhau tại .

- và cắt nhau tại F.

- và cắt nhau tại

Bài 3: Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Em hãy vẽ một đường thẳng đi qua hai trong số ba điểm đó, rồi vẽ tiếp đường thẳng thứ hai đi qua điểm còn lại và song song với đường thẳng vừa vẽ.

Đáp án:

Bài 4: Cho bốn điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm. Viết tên các đường thẳng đó.

Đáp án:

Các đường thẳng:

Bài 5: Vẽ đường thẳng , lấy . Kẻ các đường thẳng đi qua các cặp điểm

a) Kẻ được mấy đường thẳng phân biệt? Viết tên các đường thẳng đó.

b) là giao điểm của các đường thẳng nào?

Đáp án:

a) Có 4 đường thẳng phân biệt. Các đường thẳng đó là:

b) là giao điểm của các đường thẳng .

Bài 6: Vẽ 4 đường thẳng cắt nhau từng đôi một trong các trường hợp sau:

a) Chúng có tất cả 1 giao điểm.

b) Chúng có tất cả 4 giao điểm.

c) Chúng có tất cả 6 giao điểm.

Đáp án:

a) Chúng có tất cả 1 giao điểm.

b) Chúng có tất cả 4 giao điểm.

c) Chúng có tất cả 6 giao điểm.

Bài 7: Trong các câu sau, hãy cho biết câu nào đúng, câu nào sai. Vì sao?

a) Hai tia Ox và Oy chung gốc thì đối nhau.

b) Hai tai Ox và Ay nằm trên cùng một đường thẳng thì đối nhau.

c) Hai tia Ox và Oy nằm trên đường thẳng xy và chung gốc O được gọi là hai tia đối nhau.

Đáp án:

Hai tia được gọi là hai tia đối nhau phải thỏa mãn :

(1) Hai tia đó tạo thành một đường thẳng;

(2) Có chung gốc thuộc đường thẳng đó.

Vậy:

Câu a) sai, vì chỉ thỏa mãn điều kiện (2) ( chung gốc);

Câu b) sai, vì chỉ thỏa mãn điều kiện (1) ( không chung gốc);

Câu c) đúng, vì thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Bài 8: Vẽ hai đường thẳng xy và mn cắt nhau tại O.

a) Kể tên các tia đối nhau.

b) Trên tia On lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Kể tên các tia trùng nhau

Đáp án:

a) Các tia đối nhau là :

- Tia Ox là tia đối của tia Oy;

- Tia Om là tia đối của tia On.

b) Các tia trùng nhau là :

- Tia OA trùng tia On;

- Tia OB trùng tia Oy.

Bài 9: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự đó.

a) Viết tên các tia đối gốc M, gốc N, gốc P.

b) Viết tên các tia trùng nhau.

Đáp án:

a) Các tia gốc M là tia MN, tia MP.

Các tia gốc N là tia NM, tia NP.

Các tia gốc P là tia PM, tia PN.

b) Tia MN và tia MP trùng nhau, tia PN và tia PM trùng nhau

Bài 10: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, hãy vẽ:

a) Tia CB;

b) Tia CA;

c) Đường thẳng AB.

Đáp án:

Bài 11: Vẽ hai tia đối nhau OM và ON, A là một điểm thuộc tia OM, B là một điểm thuộc tia ON.

a) Trong ba điểm A, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Trong ba điểm M, O, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

c) Trong ba điểm M, O, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

Đáp án:

a) A thuộc tia OM nên hai tia OM và OA trùng nhau. Mà hai tia OM và ON đối nhau.

Do đó hai tia OA và ON đối nhau.

Vậy O nằm giữa hai điểm A và N.

b) Tương tự a) ta có O nằm giữa hai điểm B và N.

c) Từ câu a và câu b có hai tia ON, OM đối nhau nên O nằm giữa M và N.

2. THÔNG HIỂU (7 BÀI)

Bài 1: Vẽ hai tia , đối nhau. Lấy điểm thuộc tia , điểm và điểm thuộc tia sao cho nằm giữa hai điểm và . Vì sao có thể khẳng định được :

a) Hai tia , đối nhau.

b) Hai tia , đối nhau.

Đáp án:

a) Điểm thuộc tia ; điểm thuộc tia . Vậy tia trùng với tia ; tia trùng với tia . Do hai tia , đối nhau nên hai tia , đối nhau

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau .

Từ và suy ra hai tia , đối nhau.

Bài 2: Vẽ hai đường thẳng và cắt nhau tại .

1) Kể tên các tia đối nhau.

2) Trên tia lấy điểm , trên tia lấy điểm . Kể tên các tia trùng nhau.

Đáp án:

Hình 1

1) Các tia đối nhau là :

+ Tia là tia đối của tia ;

+ Tia là tia đối của tia .

2) Các tia trùng nhau là :

+ Tia trùng tia ;

+ Tia trùng tia .

Bài 3: Cho điểm và nằm trên đường thẳng . Tìm vị trí điểm A để điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

Hình 2

Muốn có điểm nằm giữa hai điểm và , thì ba điểm , , phải thẳng hàng. Mà

+ và nằm trên đường thẳng , vậy phải nằm trên đường thẳng .

+ nằm giữa và , nên phải thuộc tia đối của tia . Vậy phải nằm trên tia .

Từ đó suy ra cách tìm điểm là điểm bất kì trên tia .

Bài 4: Cho điểm thuộc đường thẳng . Lấy điểm thuộc tia , điểm thuộc tia .

a) Tìm các tia đối của tia .

b) Tìm các tia trùng với tia .

c) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? (Hai tia trùng nhau chỉ kể là một tia)

Đáp án:

a) Các tia đối của tia là tia và (Hai tia này chỉ là một).

b) Tia trùng với tia là tia .

c) Trên hình vẽ có tất cả có 6 tia, đó là: Tia , tia , tia , tia , tia , tia .

Bài 5: Trên tia lấy điểm khác điểm . Có bao nhiêu tia trùng với tia trong hình vẽ?

Đáp án:

Với mỗi điểm khác điểm trên tia ta được một tia gốc trùng với tia .

Do đó, trên tia có điểm khác điểm thì có tia gốc trùng với tia .

Bài 6: Cho bốn đường thẳng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy. Trên hình có bao nhiêu tia?

Đáp án:

Cứ hai đường thẳng bất kì (trong bốn đường thẳng đã cho) cắt nhau sẽ tạo ra bốn tia.

Số cách chọn ra hai đường thẳng trong bốn đường thẳng là: (cách)

Do đó trên hình vẽ có số tia là: (tia)

Bài 7: Cho ba đường thẳng , , cắt nhau đôi một tạo thành ba giao điểm , , trong đó là giao điểm của và ; là giao điểm của và ; là giao điểm của và .

a) Trên hình vẽ có bao nhiêu tia? Kể tên các tia đó.

b) Có bao nhiêu cặp tia đối nhau? Kể tên các tia đó.

c) Kể tên các tia trùng nhau.

Đáp án:

a) Tại mỗi giao điểm , , có tia nên trên hình vẽ có tia.

+ Các tia gốc :, , , .

+ Các tia gốc: , , , .

+ Các tia gốc : , , , .

b) Có cặp tia đối nhau:

và ; và ; và ; và ; và ; và .

c) Các tia trùng nhau

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

+ Các tia trùng nhau gốc : và ; và .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và ; điểm nằm giữa hai điểm và .

a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc .

b) Chứng tỏ rằng điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

a) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau

Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và đối nhau

Từ , , suy ra hai tia , đối nhau do đó điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 2: Trên đường thẳng lấy một điểm . Lấy điểm trên tia , điểm trên tia ( và khác điểm ).

a) Trong ba điểm , , điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại?

b) Lấy điểm nằm giữa và . Giải thích vì sao điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

a) Vì điểm thuộc đường thẳng nên và là hai tia đối nhau. Điểm , nên hai tia và đối nhau, do đó điểm nằm giữa và .

b) Điểm nằm giữa hai điểm và nên hai tia và trùng nhau.

Mặt khác, hai tia và đối nhau.

Nên từ và suy ra hai tia và đối nhau.

Do đó điểm nằm giữa hai điểm , .

Bài 3: Cho tia và hai điểm , sao cho và đều là tia đối của tia .

a) Nêu nhận xét vị trí hai tia và .

b) Nhận xét vị trí ba điểm , , .

c) Có thể khẳng định điểm nằm giữa và không?

Đáp án:

a) Vì tia và tia đều là tia đối của tia nên hai tia và trùng nhau.

b) Vì theo câu tia và tia trùng nhau nên ba điểm , , thẳng hàng.

c) Không thể khẳng định điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 4: Cho ba điểm , , sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

a) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

b) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa và .

c) Giải thích vì sao trong cả hai câu a và b điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

a)

b)

c) Điểm thuộc tia và không trùng nên tia và trùng nhau

Điểm nằm giữa và nên và là hai tia đối nhau

Từ và suy ra các tia và đối nhau nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 5: Cho bốn điểm , , , sao cho nằm giữa và , điểm nằm giữa hai điểm và . Vì sao điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên và là hai tia đối nhau

Vì điểm nằm giữa hai điểm và nên và là hai tia trùng nhau

Từ và ta có và là hai tia đối nhau do đó điểm nằm giữa và .

4. VẬN DỤNG CAO (4 BÀI)

Bài 1: Cho tia và hai điểm , sao cho và đều là tia đối của tia .

a) Nêu nhận xét vị trí hai tia và .

b) Nhận xét vị trí ba điểm , , .

c) Có thể khẳng định điểm nằm giữa và không?

Đáp án:

a) Vì tia và tia đều là tia đối của tia nên hai tia và trùng nhau.

b) Vì theo câu tia và tia trùng nhau nên ba điểm , , thẳng hàng.

c) Không thể khẳng định điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 2: Cho ba điểm , , sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

a) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa hai điểm và .

b) Vẽ điểm thuộc tia sao cho điểm nằm giữa và .

c) Giải thích vì sao trong cả hai câu a và b điểm nằm giữa hai điểm và .

Đáp án:

a)

b)

c) Điểm thuộc tia và không trùng nên tia và trùng nhau

Điểm nằm giữa và nên và là hai tia đối nhau

Từ và suy ra các tia và đối nhau nên điểm nằm giữa hai điểm và .

Bài 3: Trên đường thẳng lấy điểm . Trên tia lấy điểm khác , trên tia lấy điểm khác . Gọi là điểm di động trên . Xác định vị trí của để:

a) Hai tia và trùng nhau.

b) Hai tia và đối nhau.

Đáp án:

a) Để hai tia và trùng nhau thì điểm thuộc tia

b) Để điểm hai tia và đối nhau thì điểm nằm giữa và , không trùng với điểm và điểm

Bài 4: Cho hai điểm cố định , và đường thẳng . Đường thẳng đi qua điểm , điểm không thuộc . là điểm bất kì trên , vẽ tia đi qua điểm . Xác định vị trí điểm để:

a) Tia cắt tia mà không cắt tia .

b) Tia cắt tia mà không cắt tia .

c) Tia vừa tia vừa cắt tia . .

Đáp án:

a) Tia cắt tia mà không cắt tia thì điểm thuộc tia và điểm không trùng điểm .

b) Tia cắt tia mà không cắt tia thì điểm thuộc tia và điểm không trùng điểm .

c) Tia vừa cắt tia vừa cắt tia thì điểm trùng với điểm .