BÀI 16. TAM GIÁC CÂN, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

(20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (6 BÀI)

Bài 1: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Đáp án:
a) Xét ΔABC có: AB = AC = BC nên ΔABC đều
Xét ΔACM có: AC = CM nên ΔACM cân tại C
b) Trong ΔDFK có + + = 180⁰
Ta có = 180⁰ - - = 50⁰

⇒ =

⇒ ΔDFK cân tại D .
c) Xét ΔIGH có: IG = GH nên ΔIGH cân tại G
Mà = 60° nên ΔIGH đều
Xét ΔEGH có: EG = EH nên ΔEGH cân tại E

Bài 2: Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Đáp án:
a) Trong ΔDEH có DE = DH ⇒ ΔDEH cân tại D.
Ta có: DE = DH; EF = HG

⇒ DE + EF = DH + HG

⇒ DF = DG

⇒ ΔDFG cân tại D .
b) Ta có MO = MP = PO ⇒ ΔMPO đều.

Lại có LO = MO ⇒ ΔLOM cân tạiO

MP = PN ⇒ Δ MPN cân tại P .
Vì ΔMOP đều nên = = 60°
Mà + = 180° (hai góc kề bù); + = 180° (hai góc kề bù)

⇒ =
Xét ΔMOL và ΔMPN ta có:

= (cmt), OL = PN (gt), MO = MP (gt)
Suy ra ΔMOL = ΔMPN (c.g.c)
Do đó ML = MN ⇔ ΔLMN cân tại M.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC nếu biết:
a) = 40°; b) = 50°; c) = 60°.

Đáp án:
a) Trong ΔABC có + + = 180°

⇒ + = 180° - = 180° − 40° = 140°
Mà = (Vì ΔABC cân tại A )

⇒ = = = 70°
b) Trong ΔABC có + + = 180°
Mà ΔABC cân tại A ⇒ = = 50°

⇒ = 180° − 2. = 180° − 2.50° = 80°
c) Trong ΔABC có + + = 180°

Mà ΔABC cân tại A ⇒ = = 60°

⇒ = 180° − 2. = 180° − 2.60° = 60°

Bài 4: Tìm số đo x trong hình vẽ sau:

Đáp án:

Trong ΔABC vuông tại A có AB = AC nên ΔABC vuông cân tại A ⇒= = 45°
Xét ΔADC có AC = DC nên ΔADC cân tại C

⇒ = = x

Ta lại có là góc ngoài của ΔADC

⇒ = + = x + x = 2x
Do đó 2x = 45° ⇒ x = 22,5°

Bài 5: Cho tam giác ABD cân tại A có A = 40°. Trên tia đối của tia DB lấy điểm C sao cho DC = DA. Tính số đo góc .

Đáp án:
Trong ΔABC có + + = 180°

⇒ + = 180° − = 140°
Mà = ( ΔABD cân tại A )

⇒ = = = 70°
Ta có + = 180° (hai góc kề bù)

⇒ = 110°

ΔADC có DC = DA (gt) ⇒ ΔADC cân tại D

= = = 35°

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, = 30°. Trên cạnh BC lấy M sao cho AM = BM. Chứng minh ΔAMC đều.

Đáp án:

Ta có AM = BM (gt) ⇒ ΔAMB cân tại M

⇒ = .
Vì ΔABC vuông tại A ⇒ + = 90°
Mà + = 90°; = (cmt)
Nên =

⇒ ΔAMC cân tạiM .
Ta lại có = 90°, = 60°.
Suy ra ΔAMC đều.

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác EBD cân.

Đáp án:

Vì DE // BC nên (vì hai góc so le trong)
Mà = (vì BD là tia phân giác của )

⇒ =

⇒ ΔEDB cân tại E

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Trên cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE = CF. Chứng minh ΔABD, ΔADC, ΔAEF vuông cân.

Đáp án:

Xét ΔAEF vuông tại A có AE = AF ⇒ ΔAEF vuông cân tại A
Vì ΔABC vuông cân tại A ⇒ = = 45°
Ta lại có: AD là phân giác ⇒ = = = 45°

Xét ΔABD có = 180° −( + ) = 90°

⇒ AD ⊥ BC ⇒ = 90°
Xét ΔADB vuông tại D có = = 45° ⇒ ΔADB vuông cân tại D
Xét ΔADC vuông tại D có = = 45° ⇒ ΔADC vuông cân tại D

Bài 3: Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Chứng minh tam giác MNP đều.

Đáp án:
Ta có AB = BC = CA và AM = BN = CP

⇒ AB − AM = BC − BN = CA – CP

⇒ MB = NC = PA.
Xét ΔMBN và ΔNCP ta có:

= ( = 60°) (vì ABCΔ đều), BM = CN (cmt), BN = CP (gt)
Suy ra ΔMBN = ΔNCP (c.g.c)

⇒ MN = NP (1)

Chứng minh tương tự ta có ΔPAM = ΔNCP (c.g.c)

⇒ PM = NP (2)
Từ (1) và (2)⇒ PM = NP = MN
Suy ra ΔMNP đều.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A . Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại D, tia phân giác góc C cắt cạnh AB tại E. Chứng minh tam giác ADE cân.

Đáp án:
Vì BD, CE lần lượt là tia phân giác của ,
Nên = = , = =
Mà = (do tam giác ABC cân tại A )
Suy ra: =
Xét ΔABD và ΔACE ta có:
= , A là góc chung, AB = AC (ΔABC cân tại A )
Suy ra ΔABD = ΔACE (g.c.g)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh tam giác ADE cân.

Đáp án:
Ta có: += 180°, + = 180° (kề bù)

= (ΔABC cân tại A )

Nên =

Xét ΔABD và ΔACE ta có:

= (cmt)

AB = AC (ΔABC cân tại A )

DB = CE (gt)
Suy ra ΔABD = ΔACE (c.g.c)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A .

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho = 120°, điểm A thuộc tia phân giác của . Kẻ AB ⊥ Ox (B ∈ Ox) và AC ⊥ Oy (C ∈ Oy). Tam giác ABC là tam giác gì? Tại sao?

Đáp số:
Xét ΔABO và ΔACO ta có:

= (vì OA là tia phân giác của )

= = 90°

OA là cạnh chung
Suy ra ΔABO = ΔACO (ch.gn)

⇒ AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A.
Vì ΔABO vuông tại B ⇒ + = 90°

⇒ = 90° − 60° = 30°
Mà = (do ΔABO = ΔACO)

⇒ = 60°
Xét ΔABC cân tại A có = 60°⇒ ΔABC đều.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90°). Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với AB tại E.

a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Chứng minh DE // BC .
c) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh IB = IC.
d) Chứng minh AI ⊥ BC.
Đáp án:
Xét Δ ABD và ΔACE ta có:

= = 90°
là góc chung

AB = AC (ΔABC cân tại A)
Suy ra ΔABD = ΔACE (ch.gn)

⇒ AD = AE ⇒ ΔADE cân tại A.
b) ΔABC cân tại A ⇒ = (1)

ΔADE cân tại A ⇒ = (2)
Từ (1) và (2) ⇒ = , mà hai góc này vị trí đồng vị

⇒ DE // BC
c) Ta có = + ; = +
Mà = (ΔABC cân tại A ); = (vì ΔABD = ΔACE)
Nên = ⇒ ΔIBC cân tại I

⇒ IB = IC
d) Ta có AB = AC (ΔABC cân tạiA) ⇒ A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC

IB = IC (cmt) ⇒ I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
Do đó AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC

⇒ AI ⊥ BC.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A . Lấy điểm M trên cạnh BC (MB < MC). Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Đường thẳng qua M vuông góc với BC cắt AB tạiE . Đường thẳng qua N vuông góc BC cắt AC tại F.

a) Chứng minh: EM = FN
b) Qua E kẻ ED // AC (D ∈ BC ). Chứng minh MB = MD.
c) EF cắt BC tại O. Chứng minh OE = OF.
Đáp án:
a) Ta có = (ΔABC cân)
mà = (đối đỉnh) nên = .
Xét ΔBEM và ΔCFN ta có:

= (cmt)

BM = CN (gt)

= (= 90°)
Vậy ΔBEM = ΔCFN (g.c.g)

⇒ EM = FN
b) Ta có ED //AC ⇒ = (đồng vị)
mà = nên =

Suy ra ΔEBD cân tại E, do đó EB = ED.
Xét ΔBME vuông tại M và ΔDME vuông tại M, ta có

EB = ED (cmt);

= (cmt)
Suy ra ΔBME = ΔDME (ch.gn)

⇒ BM = MD.
c) Ta có EM // FN (cùng vuông góc với BC ) ⇒ = (so le trong).
Xét ΔMEO và ΔNFO, ta có:

= (cmt)

EM = FN (câu a)

= ( = 90°)
Suy ra ΔMEO = ΔNFO (g.c.g)

⇒ OE = OF.

Bài 4: Cho góc vuông xOy. Điểm M nằm trong góc đó. Vẽ điểm N và P sao cho tia Ox là đường trung trực của MN và Oy là đường trung trực của MP .

a) Chứng minh ON = OP.
b) Chứng minh ba điểm P, O, N thẳng hàng.
Đáp án:

a) Vì Ox là đường trung trực của MN nên OM = ON
Vì Oy là đường trung trực của MP nên OM = OP
Do đó ON = OP
b) Gọi E ,F lần lượt là giao điểm của MN và Ox, MP và Oy .

ΔOME = ΔONE (c.g.c) nên O₁ = O₂

ΔOMF = ΔONP (c.g.c) nên O₃ = O₄
Ta có = + + + = 2( + ) = 2.90° = 180°
Do đó ba điểm P, O, N thẳng hàng

Bài 5: Cho ΔABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC tại H, cắt BC tại D. Nối A và D.

a) So sánh số đo góc và .
b) Chứng minh D là trung điểm của BC
Đáp án:
a) Từ giả thiết vì HD là đường trung trực của AC nên DC = DA ⇒ C = A₁

Vì ΔABC vuông tại A nên + = 90°, + = 90°

=> =
b) Do = nên ΔADB cân tại D ⇒ DA = DB

Mà DC = DA ( vì HD là đường trung trực củaAC).

⇒ DC = DB
Suy ra D là trung điểm của BC

Bài 6: Cho ΔABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở M và N.

a) Biết = 30°, C = 45°. Tính số đo góc và .
b) Chứng minh = 2 − 180°.
Đáp án:
a) Ta có M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB

⇒ MA = MB

⇒ ΔAMB cân tại M

⇒ = = 30°
Tương tự N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC

⇒NA = NC

⇒ ΔANC cân tại N

⇒ = = 45°.
Trong ΔANC có = 180° − ( + ) = 180° − (45° + 45°) = 90°

nên = 90°.
Suy ra AN ⊥ BC.
Xét ΔABC có = 30°, = 45° ⇒ = 180° − (+ ) = 105°.
Vậy = 105° − – = 105° − 30° − 45° = 30°
b) Ta có: = – (+ ) = – (+ =– (180° – ) = 2– 180°
Vậy = 2 – 180°

4. VẬN DỤNG CAO (3 BÀI)

Bài 1: ΔABC có – = 30°. Đường trung trực của BC cắt AC ở K.
a) Chứng minh = .
b) Tính số đo góc
c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK .

Đáp án:

a) K thuộc đường trung trực của BC

⇒ KB = KC

⇒ ΔBKC cân tại K ⇒ =
b) Ta có: = – = – = 30°
c) Ta có: AK + BK = AK + KC = AC = 5 cm.

⇒ AB + AK + BK = 8 cm
Vậy chu vi tam giác ABK là 8 cm.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác cân MAB, NAB lần lượt tại M và N (M, N nằm khác phía so với AB). Chứng minh:
a) Điểm M thuộc đường trung trực của AB

b) MN là đường trung trực của AB .


Đáp án:

a) ΔAMB cân tại M nên AM = BM
Suy ra điểm M thuộc đường trung trực của AB. (1)
Ta lại có ΔANB cân tại N nên AN = BN
Nên điểm N thuộc đường trung trực của AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 3: Cho ΔABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh:
a) BD = DE;
b) AD là đường trung trực của BE.

Đáp án:

a) Xét ΔABD và ΔAED có:

AD là cạnh chung

= (Vì AD là tia phân giác của )

AB = AE (gt)
Do đó ΔABD = ΔAED (c.g.c) nên BD = DE
b) Vì BD = DE (cmt) suy ra D nằm trên đường trung trực của BE (1).
Theo giả thiết: AB = AE suy ra A nằm trên đường trung trực của BE (2).
Từ (1) và (2), suy ra AD là đường trung trực của BE.