BÀI 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, chứng minh AB – BC < AC < AB + BC

Đáp án:

Xét tam giác ABC, có AC < AB + BC (định lí 1)

Và AC > AB – BC (định lí 2)

Bài 2: Cho tam giác có . Hỏi độ dài cạnh có thể là được không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có .

Theo bất đẳng thức tam giác ta có hay Do đó độ dài cạnh không thể là được.

Bài 3: Cho các bộ ba đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) 2 cm, 4 cm, 3cm.

b) 4 cm, 6 cm, 2 cm.

c) 4cm, 2cm, 8 cm.

Trường hợp nào là độ dài ba cạnh của tam giác

Đáp án:

a) Ta có , bộ ba dài thỏa mãn điều kiện nên đây có thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

b) Ta có , bộ ba dài không thỏa mãn điều kiện nên đây không thể là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

c) Ta có ba bộ dài không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 4: Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào dưới đây không thể là ba cạnh của một tam giác

a, 2; 5; 7

b, 4; 5; 7

c, 4; 5; 8

Đáp án:

a, Ta có: 2 + 5 = 7 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác) nên không lập thành một tam giác

b, Ta có: 4 + 5 = 9 > 7; 5 + 7 = 12 > 4; 4 + 7 =11 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

c, Ta có: 4 + 5 = 9 > 8; 5 + 8 = 13 > 4; 4 + 8 =12 > 5 (thỏa mãn bất đẳng thức nên lập được thành một tam giác.

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 7cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 7 > a > 7 – 2

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 7, 6}; {2, 7, 7}; {2, 7, 8}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, BC = 4cm. Tính AB biết AB nguyên

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có

Vậy độ dài cạnh AB là 4 cm

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 5cm. Tính chu vi tam giác ABC biết BC nguyên

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có

Vậy chu vi tam giác ABC là: 1 + 5 + 5 = 11 (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có AC = 1cm, AB = 6cm và độ dài cạnh BC nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh BC là a (a > 0)

Ta có

(cm)

độ dài cạnh BC là 6 cm

AB = BC

Tam giác ABC cân tại B

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 4 cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 14 cm.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 4 cm

cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 4 + 4 = 8 > BC = 6 (cm)

AB + BC = 4 + 6 = 10 > AC = 4 (cm)

AC + BC = 4 + 6 = 10 > AB = 4 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 4 cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 4 (cm)

AB + BC = 5 + 4 = 9 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 4 = 9 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 4 cm, BC = 6cm

Hoặc AB = AC = 5 cm, BC = 4cm

Ta có tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 4 cm

Lại có chu vi tam giác ABC là 14 cm

cm

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 18 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 5 cm

cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 5 + 8 = 13 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 8 = 13 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 5 cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 6,5 + 6,5 = 13 > BC = 5 (cm)

AB + BC = 6,5 + 5 = 11,5 > AC = 6,5 (cm)

AC + BC = 6,5 + 5 = 13 > AB = 6,5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 6,5 cm, BC = 5cm

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 4 cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi của tam giác là 14 cm.

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 4 cm

cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 4 + 4 = 8 > BC = 6 (cm)

AB + BC = 4 + 6 = 10 > AC = 4 (cm)

AC + BC = 4 + 6 = 10 > AB = 4 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 4 cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 4 (cm)

AB + BC = 5 + 4 = 9 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 4 = 9 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 4 cm, BC = 6cm

Hoặc AB = AC = 5 cm, BC = 4cm

Ta có tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 4 cm

Lại có chu vi tam giác ABC là 14 cm

cm

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 5 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 18 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 5 cm

cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 5 + 5 = 10 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 5 + 8 = 13 > AC = 5 (cm)

AC + BC = 5 + 8 = 13 > AB = 5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 5 cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 6,5 + 6,5 = 13 > BC = 5 (cm)

AB + BC = 6,5 + 5 = 11,5 > AC = 6,5 (cm)

AC + BC = 6,5 + 5 = 13 > AB = 6,5 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 5 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 6,5 cm, BC = 5cm

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác là trung điểm cạnh . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh:
a) ;
b) .

Đáp án:

a) Xét và có

(gt)

2 góc đối đỉnh);

(c.g.c)

b) Xét ta có:

(bất đẳng thức tam giác)

Bài 2: Cho tam giác có , tia phân giác góc cắt đoạn thẳng ở . Trên đoạn thẳng lấy điểm .

Chứng minh: .

Đáp án:

Trên lấy điểm sao cho

Xét có:

AF = AC (gt)

AE chung

(AD là phân giác góc A)

(c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Xét , ta có

Mà

.

Mặt khác

Do đó (đpcm)

Bài 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. So sánh 2AM với AB + AC.

Đáp án:

Trên tia đối tia MA lấy điểm N sao cho AM = MN

Có M là trung điểm cạnh BC (gt)

Xét và , ta có:

BM = CM (cmt)

AM = MN (gt)

2 góc đối đỉnh);

= (c.g.c)

(2 cạnh tương ứng) (1)

Xét , ta có AN < AB + CA (2)

Từ (1) và (2)

Lại có AN = 2AM (gt)

Bài 4: Cho có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D . Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét và có

AB = AF

AE chung

= (c.g.c)

Xét có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2) FC = AC – AB > EC - EB

Bài 5: Cho vuông tại A, tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Chứng minh rằng BC – BA > DC – DA.

Đáp án:

Xét và , có

BD là cạnh huyền chung

(vì BD là phân giác góc B)

= (ch -gn)

BA = BH; DA = DH (2 cạnh tương ứng)

Xét vuông tại H có CD > DH và HC > DC – DH (bất đẳng thức tam giác)

BC - BH = HC > DC - DH

Mà DH = DA, BH = BA (cmt)

BC - BA > DC - DA

Bài 6. Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M trong góc xOz, vẽ MH vuông góc với Ox (H, MK Oy (K). Chứng minh rằng MH < MK.

Đáp án:

Gọi A là giao điểm của MK và Oz

Vẽ AB Ox (B. Nối B với M

Xét

OA chung

(Oz là phân giác xOy)

= (ch - gn)

(2 cạnh tương ứng)

Xét có BM < AB + AM (bất đẳng thức trong tam giác)

hay

Mà MH < BM

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Một trạm biến áp và một khu dân cư được xây dựng cách xa hai bờ sông tại hai địa điểm và (hình vẽ). Hãy tìm trên bờ sông gần khu dân cư một địa điểm để dựng một cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp về khu dân cư sao cho độ dài đường dây là ngắn nhất.

Đáp án:

Gọi là bờ sông phía (khu dân cư) nối cắt tại

Ta chứng minh là nhỏ nhất

Thật vậy: Giả sử và

Xét theo bất đẳng thức tam giác

Ta có

Do đó là điểm cần tìm.

Điểm nằm trên đường thẳng với và . là giao của và .

Bài 2: Ba thành phố là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng:

a) Nếu đặt ở máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng thì thành phố có nhận được tín hiệu không? Vì sao?

b) Cũng câu hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng ?

Đáp án:

a) Trong ta có hay vậy trạm phát tại có bán kính hoạt động nhỏ hơn thì thành phố không nhận được tín hiệu.

b) Tương tự: Trạm phát tại có bán kính hoạt động bằng thì thành phố nhận được tín hiệu.