BÀI 35: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho O là giao điểm của ba đường trung trực trong . Khi đó O là gì?

Đáp án:

Ta có ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này sẽ cách đều 3 đỉnh của tam giác và là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Bài 2: Xem hình vẽ bên có thể khẳng định rằng: các đường thẳng và cùng đi qua một điểm không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có (gt),

và là ba đường cao của vì vậy chúng gặp nhau tại một điểm.

Bài 3: Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Đáp án:

Xét và có ) AH: cạnh chung

Do đó (hai cạnh góc vuông)

(cạnh tương ứng)

Hay cân tại .

Bài 4: Cho tam giác cân tại , trung tuyến .

a) Chứng minh là đường trung trực của cạnh .

b) Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác có nằm trên không.

Đáp án:

a) Xét và có

AD: cạnh chung

là đường trung tuyến)

(gt: cân tại

Do đó (c.c.c)

Mà (kề bù)

hay AD

Lại có DB = DC

là đường trung trực của cạnh .

b) Vi là đường trung trực của cạnh nên điểm cách đều ba đỉnh của tam giác cũng nằm trên đường trung tuyến .

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến. Chứng minh AM là đường trung trực của tam giác ABC

Đáp án:

Xét cân tại A có AM là đường trung tuyến

là đường trung trực của

Bài 6: Nếu một tam giác có đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

Đáp án:

Giả sử có AM là đường trung tuyến

Có AM là đường trung trực

Xét 2 tam giác vuông và , có:

BM = CM (cmt)

AM chung

(2 cgv)

(2 cạnh tương ứng)

cân tại A

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác vuông cân tại . Trên cạnh lấy điểm . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng:
a)

b) .

Đáp án:

a) vuông cân tại , nên .
có .

Vậy vuông cân tại , suy ra .
Xét có (chứng minh trên) nên suy ra .
Vậy .
b) có (gt); (chứng minh a).
Vậy là trực tâm của , suy ra là đường cao thứ ba của tam giác , vậy .

Bài 2: Cho tam giác có . Đường trung trực của và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở E và F. Tính góc EAF.

Đáp án:

Vì E thuộc đường trung trực của AB

Vì F thuộc đường trung trực của AC

Do đó

Bài 3: Cho tam giác cân tại A, có . Đường trung trực của AB cắt BC ở D. Tính

Đáp án:

Vì tam giác ABC cân tại A (gt)

Xét có (tổng ba góc của tam giác)

Mà (cmt)

Vì D thuộc đường trung trực của AB

(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

cân tại D

Mà

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, có , đường trung trực của AB cắt BC tại D. Tính

Đáp án:

Vì cân tại (gt)

= (180

Vì D thuộc đường trung trực của AB

AD = BD

cân tại D

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có , đường trung trực của BC cắt AC tại M. Chứng minh BM là phân giác của

Đáp án:

Ta có M thuộc đường trung trực của BC

BM = MC (tính chất đường trung trực)

cân tại M

(tính chất tam giác cân)

Xét (tổng ba góc trong tam giác)

=

=

BM là phân giác của

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD AC (D . Chứng minh AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK

Đáp án:

Xét vuông, ta có:

AH = AK (gt)

AB chung

(ch -cgv)

(2 cạnh tương ứng)

Mà AH = AK (gt)

là đường trung trực của đoạn HK

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác có góc tù, các đường trung trực của và cắt nhau tại và cắt theo thứ tự và .

a) Chứng minh cân.

b) Chứng minh rằng là tia phân giác của góc .

Đáp án:

a) D thuộc trung trực của nên hay cân Chứng minh tương tự ta cũng có hay cân.

b) 0 thuộc trung trực của

Tương tự thuộc trung trực của

Từ (1) và cân tại

Lại có (c.c.c)

tương tự

Từ (3) (4) (5) hay là tia phân giác của góc DAE.

Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại , lấy điểm thuộc cạnh . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng:
a) DE vuông góc với
b) BE vuông góc với DC.

Đáp án:

a) Tam giác có và nên tam giác DAE vuông cân tại .

(đối đỉnh)

Lại có

(vì vuông cân tại )

Gọi là giao điểm của và

có hay

b) Xét tam giác có

(cmt) mà cắt tại nên là trực tâm của tam giác là đường cao thứ ba của tam giác nên vuông góc với DC.

Bài 3: Cho tam giác vuông tại , đường cao . Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng là giao điểm ba đường trung trực của .
b) Gọi là trung điểm của , qua kẻ đường thẳng song song với , cắt ở . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Dễ dàng chứng minh được .

Vậy I là giao điểm ba đường trung trực của .

b) Ta đã biết (giả thiết) nên .

có , do đó là trực tâm của , suy ra

Bài 4: Cho đoạn thẳng AB có điểm M nằm giữa A và B (MA <MB). Vẽ tia Mx AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo

Đáp án:

Vì Mx AB

Xét có

(cmt)

MA = MC (gt)

(tính chất tam giác vuông cân)

(đối đỉnh)

Xét có

(cmt)

MB = MD (gt)

(tính chất tam giác vuông cân)

Xét có:

Lại có: + (kề bù)

Bài 5: Cho tam giác cân tại có . Đường trung trực của cắt đường thẳng tại . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Tính các góc của tam giác .

Đáp án:

cân tại có

Gọi là giao điểm của đường trung trực đoạn với .

có trung tuyến đồng thời là đường cao nên cân tại

Xét có

Mặt khác (kề bù)

Ta có (c.g.c)

.

Bài 6. Cho góc nằm trong góc , lấy các điểm và sao cho là đường trung trực của là đường trung trực của MP. Tính các góc của tam giác ONP.

Đáp án:

thuộc trung trực của

nên

Tương tự thuộc trung trực của

nên

Từ (1) hay cân tại

Dễ thấy (c.c.c)

tương tự ta có

mà

NOP cân tại .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác có là trực tâm. Biết rằng , hãy tính số đo của góc .

Đáp án:

Ta thấy , vì trái lại thì : vô lí.
Trường hợp 1: (hình a).
Xét hai tam giác vuông và , có:

(ch - gn)
(hai cạnh tương ứng)
vuông cân tại .
Vậy .
Trương hợp 2: (hình b).
Chứng minh tương tự trường hợp 1 ta được và từ đó suy ra: , .
Vì là trực tâm nên .
vuông tại có nên , suy ra .

Bài 2: Cho tam giác ABC có tù. Tia phân giác của và cắt nhau tại O. Lấy điểm E trên cạnh AB. Từ E kẻ . Từ P kẻ . Chứng minh rằng:

a) OB và OC là đường trung trực của các đoạn thẳng EP và PF.

b) BE + CF = BC.

c) Khi E di chuyển trên cạnh AB thì đường trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố định.

Đáp án:

a) Tam giác BEP có đường phân giác BO cũng là đường cao nên là tam giác cân. Vậy BO là đường trung trực của EP.

Tương tự, CO là đường trung trực của PF.

b) Vì BE = BP, CF = PC nên BE + CF = BC.

c) Theo chứng minh a) O nằm trên đường trung trực của EP nên OE = OP, O nằm trên đường trung trực của FP nên OP = OF.

Vậy OE = OP = OF nên O nằm trên đường trung trực của EF. Khi E di động trên AB nhưng AABC cố định thì O cố định. Đường trung trực của EF luôn đi qua O cố định.