1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

Giải chi tiết:

a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:

+ Đường thẳng cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định,

+ Đường thẳng trên mặt sàn và luôn đi qua điểm cố định (là giao của đường thẳng và mặt sàn).

- Vì đường thẳng quay quanh điểm và nên vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn. Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua

và song song với . Khi đó .

Bài 2: Nếu đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không?

Giải chi tiết:

và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì song song hoặc nằm trên ,

Khi đó, tồn tại đường thẳng

//

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết .

Bài 3: Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật…

Giải chi tiết:

a) Vì là các hình chữ nhật nên

b) Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Bài 4: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không?

Giải chi tiết:

Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác. Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD…

Giải chi tiết:

Vì và là giao điểm của hai đường chéo AC, BD nên là trung điểm của

Bài 6: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà.

Giải chi tiết:

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà (chứa hai thanh đế).

2. Tính chất

Bài 1: Cho điểm O và đường thẳng Δ…

Giải chi tiết:

Ta có: .

Do vàphân biệt nên và phân biệt.

Mà đi qua và vuông góc với .

Bài 2: Cho mặt phẳng (P) và điểm O…

Giải chi tiết:

a) Vì và cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự và cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau; suy ra chúng phân biệt. không trùng nhau.

Mặt khác, có điểm chung O nên cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Ta có: đi qua O

Mà

Bài 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải chi tiết:

Ta có:

Mặt khác, qua điểm có duy nhất đường thẳng vuông góc với

thẳng hàng.

3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và song song với đường thẳng Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng Tính ) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa

Giải chi tiết:

Vì nên .

Mặt khác // nên .

Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên vuông góc với mọi đường thẳng trong (P).

Bài 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng Xét là một điểm thuộcnhưng không thuộc Gọi là đường thẳng qua và song song với

a) Hỏi c có vuông góc với hay không? Nhận xét về vị trí tương đối giữa và

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và

Giải chi tiết:

a) (P)

Mà (P)

cùng đi qua điểm O

trùng .

b) Ta có //mà trùng c nên

Bài 3: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và đường thẳng vuông góc với Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc Lấy một đường thẳng thuộc sao cho song song với (H.7.23). So sánh và Từ đó rút ra mối quan hệ giữa

Giải chi tiết:

//

Do vuông góc mọi đường thẳng b trong nên (Q).

Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng Δ . Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Giải chi tiết:

a) (Q)

Mà và là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

trùng

b) mà trùng nên .

Bài 5: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Giải chi tiết:

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt, cùng vuông góc với một đường thẳng (đường chứa một trong các chân bàn).

Bài 6: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính

Giải chi tiết:

Vì //(P) nên a //b trong (P). Mặt khác nên

Bài 7: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng Δ.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Giải chi tiết:

a) Do // và nên

a’ đi qua O và nên

b) Vì nên hoặc //

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD…

Giải chi tiết:

+)

Gọi

Mà

// (MBD).

4. Bài tập

Bài 7.5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân…

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác cân tại có: là đường trung tuyến ( là trung điểm )

là đường cao

Xét tam giác SBC có:

+) SM là đường cao

+) SM là đường trung tuyến ( là trung điểm

Tam giác SBC cân tại S.

Bài 7.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.

Giải chi tiết:

+) ; ;

+) ; ;

+) Xét tam giác SAB có Tam giác vuông tại .

Xét tam giác SBC có Tam giác vuông tại.

Xét tam giác SCD có Tam giác vuông tại.

Xét tam giác SAD có Tam giác vuông tại.

Bài 7.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật…

Giải chi tiết:

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

Bài 7.8: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không?

Giải chi tiết:

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng nước chứa mặt nước trong thùng.

Bài 7.9: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng…

Giải chi tiết:

Nếu phép đo của Hùng là chính xác ta có

Do đó theo định lý Pythagore thì cột cờ không vuông góc với mặt sân.

Do đó cột không có phương thẳng đứng.