1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 1 trang 44 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').

Giải chi tiết:

Vì và cùng vuông góc với nên chúng song song hoặc trùng nhau.

Tương tự, và song song hoặc trùng nhau.

Vậy (a,b)=(a', b')

Luyện tập 1 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Giải chi tiết:

Gọi là giao điểm của và .

Vì và

((

Do đó

là hình vuông.

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 2 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Giải chi tiết:

a) Vì và nên .

Vậy .

b) Do và tương ứng vuông góc với và .

Do đó,

Luyện tập 2 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bán lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Giải chi tiết:

Mặt phẳng cánh của chứa đường thẳng nối các bản lề. Mặt khác đường thẳng này vuông góc với sàn nhà.

Do đó mặt phẳng cánh cửa vuông góc với sàn nhà.

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Hoạt động 3 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến của (P)và (Q). Gọi O là giao điểm của a và . Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với tại D.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mối quan hệ giữa a và (Q)

Giải chi tiết:

Mà (Q) .

b) Vì , nên .

Hoạt động 4 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P). (Q) hay không?

b) Tim mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tim mối quan hệ giữa a và (R).

Giải chi tiết:

a) Do và đường thẳng đi qua vuông góc với nên . Tương tự, .

b) Do và nên

c) Do trùng nên .

Luyện tập 3 trang 47 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Giải chi tiết:

a) Vì ,

.

Vì .

b) Ta có: ,

.

Lại có

4. GÓC NHỊ PHÂN

Hoạt động 5 trang 47 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyển a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Giải chi tiết:

a) Góc

b) Góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng chứa

Vì nên góc giữa hai đường thẳng tương úng chứa có thể nhận số đo từ đến .

Vậy góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ đến .

Luyện tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), AB = AC = a,

= 120⁰ , SA= . Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A]

Giải chi tiết:

a) là một góc phẳng nhị diện ].

b)

.

Vận dụng 1 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng dị khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Giải chi tiết:

+) Gọi lần lượt là tâm của nửa hình tròn khung cửa và nửa hình tròn cánh của.

+) Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau, do đó chúng cũng song song với giao tuyến (qua ) của hai mặt phẳng tương ứng chứa khung và cánh cửa.

+) Vì O là điểm chính giữa của các cung tròn khung cửa và cánh cửa nên

vuông góc với đường kính khung cửa.

OJ vuông góc với đường kính cánh cửa.

là một góc phẳng nhị diện của nhị diện có hạnh cạnh tương ứng chứa cánh và khung cửa.

+) Ta có nên .

Vậy cũng vuông góc với các đường kính cánh cửa và khung cửa. Do đó .

Mặt khác , suy ra tam giác đều và .

Vậy để khoảng cách giữa đường kính cánh của và đường kính khung cửa bằng 40 cm thì góc nhị diện có hai cạnh tương ứng chứa cánh và khung của có số đo là

5. MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT

a) Hình lăng trụ đứng

Hoạt động 6 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Giải chi tiết:

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành. Mặt khác, lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy

Các cạnh bên vuông góc với các cạnh đáy.

Do đó hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

Vì vậy cạnh bên vuông góc với đáy nên các mặt bên cùng vuông góc với đáy.

b) Hình lăng trụ đều

Hoạt động 7 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Giải chi tiết:

Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng nên các mặt bên của nó là các hình chữ nhật. Mặt khác, các cạnh đáy của lăng trụ đều bằng nhau và các cạnh bên của một lăng trụ luôn bằng nhau. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

c) Hình hộp đứng

Hoạt động 8 trang 49 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Giải chi tiết:

Hình hộp đứng là một trường hợp đặc biệt của hình lăng trụ đứng, có 4 mặt bên là các hình chữ nhật, còn hai đáy là hai hình bình hành. Do đó nó có ít nhất 4 mặt là bốn hình chữ nhật, đó là các mặt bên.

d) Hình hộp chữ

Hoạt động 9 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vi sao?

Giải chi tiết:

a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật vì hình hộp đứng có các mặt bên là hình chữ nhật và hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật.

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Điều này bởi vì cứ 2 đường chéo bất kì của hình hộp chữ nhật đều xác định nằm trong 1 một hình chữ nhật và là 2 đường chéo của hình chữ nhật đó.

e) Hình lập phương

Hoạt động 10 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Giải chi tiết:

Các mặt của hình lập phương là hình vuông.

Vì hình lập phương có các mặt là hình chữ nhật và có các cạnh bằng nhau nên các mặt đó là hình vuông.

Vận dụng 2 trang 50 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cùng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Giải chi tiết:

Do các hình vuông được cắt ra từ tấm tôn góc ban đầu có kích thước giống nhau, do đó khi ghép các mép lại với nhau, ta sẽ có được đường biên của chiếc hộp chữ nhật. Các cạnh của hình vuông trùng với các cạnh của hộp chữ nhật, do đó khi các mặt được ghép lại với nhau, chúng sẽ tạo thành các mặt của hộp chữ nhật. Vì vậy, bằng cách này, bác Hùng đã tạo ra một chiếc thùng hình hộp chữ nhật từ một tấm tôn hình chữ nhật ban đầu.

6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

Hoạt động 11 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kính và kim loại) có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.

Giải chi tiết:

Giả sử tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông và các cạnh bên bằng nhau.

Gọi O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy. Do nên áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác ta nhận được .

Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông tức là O là tâm hình vuông ABCD.

Hoạt động 12 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Cho hình chóp S.A1A2...An. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều A1A2...An?

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

Giải chi tiết:

a) Do hình chóp là đều nên .

Từ đó, áp dụng định lí Pythagore, ta suy ra . Do đó là tâm của đa giác đều .

b) Do đa giác và cách đều các đỉnh của đa giác đó nên áp dụng định lí Pythagore, ta suy ra . Vậy hình chóp đã cho là hình chóp đều.

Luyện tập 5 trang 51 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a. Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Giải chi tiết:

Gọi là trung điểm của là hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC).

Ta có:

là 1 góc phẳng của góc nhị diện

Ta có:

.

Vậy số đo góc nhị diện là

Hoạt động 13 trang 52 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.A1A2...An. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tai B1B2,....,Bn

a) Giải thích vì sao S.B1,B2,....,Bn, là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác A1A2...An. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1,B2,....,Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An). (B1B2,....,Bn)

Giải chi tiết:

a) Các đa giác và có các cạnh tương ứng song song. Áp dụng định lí Thalès, ta có

suy ra .

Từ đó, vì đa giác đều nên đa giác là đều và do nên .

Vậy là hình chóp đểu.

b) Vì là tâm của đáy và hình chóp S. là đều; vuông góc với mặt phẳng .

Do hai mặt phẳng và song song với nhau nên cũng vuông góc với mặt phẳng . Hơn nữa, vì hình chóp đểu nên giao của và là tâm của đáy .

BÀI TẬP

Bài tập 7.16 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng (SAB) (ABC) và (SAH) (SBC)

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, = 30⁰, AC = a, SA = .Tính số đo nhị diện [S. BC. A]

Giải chi tiết:

a) .

Vì

.

b)

Xét tam giác ABC: .

Bài tập 7.17 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC'A') (BDD'B')

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tinh (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C'].

Giải chi tiết:

a) Ta có: .

Do đó .

b)

c)

Suy ra số đo góc nhị diện .

Bài tập 7.18 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng

b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD)

c) Cho AB = a, BC = b, CC' = c. Tính AC'

Giải chi tiết:

a) .
b) Hình chiếu của trên là .
c) .

Bài tập 7.19 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Giải chi tiết:

Gọi là hình chiếu của S trên (ABC),

.

Gọi lần lượt là góc giữa và , góc giữa và .

a) (do

Ta có: .

b) Gọi M là giao của AH và BC.

Ta có:

nên .

Bài tập 7.20 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Giải chi tiết:

a) .

b) vuông góc với đường nóc nhà, đường nóc nhà song song với mặt phẳng đất nên vuông góc với mặt phẳng đất.

c) Gọi H là điểm nằm trên đường thẳng kẻ từ A vuông góc với mặt đất, sao cho

.

Do đó .

Vậy góc giữa mái nhà chứa OB so với mặt đất khoảng

Bài tập 7.21 trang 53 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Giải chi tiết:

Giả sử góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang là

Khi đó: .

Vậy góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá