1. CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT CHO HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Hoạt động 1 trang 76 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

• A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng";

• B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen".

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).

b) So sánh P(AB) và P(A)

Giải chi tiết:

+) Tính

b)

Vậy

Luyện tập 1 trang 77 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm; G

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Giải chi tiết:

Gọi biến cố A: “Hạt A nảy mầm”;

B: “Hạt B nảy mầm”.

.

Hai biến cố A và B độc lập.

a) Biến cố “Hạt A nảy mầm, hạt B không nảy mầm” là biến cố

b) Biến cố: “Hạt A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm” là biến cố

c) Biến cố: “Có ít nhất một trong hai hạt nảy mầm” là biến cố . Vậy

2. VẬN DỤNG

Luyện tập 2 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:

Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

Giải chi tiết:

Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm 5000 người đang xét. Xét các biến cố sau:

“Người đó nghiện thuốc lá”

“Người đó mắc bệnh viêm phổi”.

Khi đó là biến cố: “Người đó nghiện thuốc là và mắc bệnh viêm phổi”.

Số người nghiện thuốc lá là:

Số người mắc bệnh viêm phổi là:

Số người nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi là 752.
Ta có

.
.
Vậy hai biến cố và không độc lập. Do đó ta kết luận việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.

BÀI TẬP

Bài tập 8.11 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc với P(A)> 0, P(B) > 0. Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Giải chi tiết:

Ta có . Do đó .
Vậy hai biến cố và không độc lập.

Bài tập 8.12 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một thùng đựng 60 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 60. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong thùng. Xét hai biến cố sau:

A: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 60" và B: “Số ghi trên tấm thẻ là ước của 48".

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố không độc lập.

Giải chi tiết:

a) Ta có .

.

Suy ra .
b) Ta có .
.
Do đó hai biến cố và không độc lập.

Bài tập 8.13 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai túi đựng các viên bị có cùng kích thước và khối lượng. Túi I có 3 viên bi màu xanh và 7 viên bị màu đỏ. Túi II có 10 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một viên bị. Tính xác suất để xanh

a) Hai viên bi được lấy có cùng màu xanh;

b) Hai viên bi được lấy có cùng màu đỏ;

c) Hai viên bi được lấy có cùng màu;

d) Hai viên bi được lấy không cùng màu.

Giải chi tiết:

a) Gọi là biến cố: "Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh".

Gọi là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi I có màu xanh",

là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi II có màu xanh".

Ta có . Hai biến cố và độc lập nên .

. Suy ra .

b) Gọi là biến cố: "Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ".

Gọi là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi I có màu đỏ”,

là biến cố: "Viên bi lấy ra từ túi II có màu đỏ”.

Ta có . Hai biến cố và độc lập nên

Vậy .
d) Gọi là biến cố: "Hai viên bi lấy ra không cùng màu". Ta có .

Vậy .

Bài tập 8.14 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Có hai túi mỗi túi đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và khối lượng được đánh số từ 1 đến 10. Từ mỗi túi, lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để trong hai quả cầu được lấy ra không có quả cầu nào ghi số 1 hoặc ghi số 5.

Giải chi tiết:

Gọi là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1 ", là biến cố: "Quả cầu lấy ra từ túi I không mang số 1", là biến cố: "Quả cầu lấy ra từ túi II không mang số 1 ”.

Ta có . Hai biến cố và độc lập nên .
Dễ thấy . Vậy .
Gọi là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 5 ". Tương tự, ta co .

Gọi là biến cố: "Trong hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1 hoặc số 5 ”. Ta có .

Theo công thức cộng xác suất ta có .
Gọi là biến cố: "Hai quả cầu lấy ra không có quả cầu nào mang số 1 và mang số 5 ", là biến cố: "Quả cầu lấy ra từ túi không mang số 1 và mang số 5 ", là biến cố: "Quả cầu lấy ra từ túi II không mang số 1 và mang số 5 ". Ta có .
Ta có: . Từ đó .
Vậy

Bài tập 8.15 trang 78 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong đợt kiểm tra cuối học kì II lớp 11 của các trường trung học phổ thông, thống kê cho thấy có 93% học sinh tỉnh X đạt yêu cầu; 87% học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X và một học sinh của tỉnh Y. Giả thiết rằng chất lượng học tập của hai tỉnh là độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả hai học sinh được chọn đều đạt yêu cầu;

b) Cả hai học sinh được chọn đều không đạt yêu cầu;

c) Chỉ có đúng một học sinh được chọn đạt yêu cầu;

d) Có ít nhất một trong

Giải chi tiết:

Gọi A là biến cố: "Học sinh tỉnh X đạt yêu cầu".

B là biến cố: “Học sinh tỉnh Y đạt yêu cầu”.

a)

b)

c)

d)