1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Quan sát bốn tuyến đường trong...

Giải chi tiết:

Quan sát Hình 4.13 ta thấy:

a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.

b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.

c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

Bài 2: Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường...

Giải chi tiết:

- Hình ảnh hai đường thẳng song song:

+ Hai cạnh đối diện của chiếc bàn:

+ Vạch kẻ đường:

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau:

+ Cạnh bàn và đường nối chân bàn.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành...

Giải chi tiết:

a)

(vì là hình bình hành)

b) =>

=> cùng thuộc một mặt phẳng

=> đồng phẳng

Do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau. Vậy trong các đường thẳng không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Bài 4: Trong hình chóp tứ giác...

Giải chi tiết:

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và .

Giải thích: Nếu hai đường thẳng và không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết là hình chóp. Do đó, hao đường thẳng và chéo nhau. Tương tự, giải thích được hai đường thẳng và chéo nhau.

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và . Giải thích tương tự câu a.

Bài 5: Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn...

Giải chi tiết:

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì điểm đầu gậy chạm với sàn và 4 điểm góc của tường là các điểm không đồng phẳng nên đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Bài 1: Trong không gian, cho một đường...

Giải chi tiết:

a) Trên mặt phẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua và song song với (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử là đường thẳng đi qua và song song với . Khi đó hai đường thẳng và đồng phẳng. Mà điểm và đường thẳng đều cùng nằm trong mặt phẳng nên và cùng nằm trong mặt phẳng

=> Vậy nếu một đường thẳng đi qua và song song với thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng

Bài 2: Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song...

Giải chi tiết:

Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể chọn là mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song với nhau.

Bài 3: Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn...

Giải chi tiết:

Ta có: (do là hình bình hành) và (do là hình bình hành).

Do đó, .

Khi đó, hai đường thẳng và đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng.

Lại có và (do và là các hình bình hành) nên

Vậy tứ giác là hình bình hành.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng...

Giải chi tiết:

a)

Vì =>

Vì =>

Do đó là điểm chung của và

Lại cps

Vậy

b)

Ta thấy ba đường thẳng phân biệt đôi một đồng phẳng.

Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì đôi một song song.

Vậy nếu hai đường thẳng và song song với nhau thì hai đường thẳng và song song với nhau.

Bài 5: Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng...

Giải chi tiết:

+ Ta có hai mặt phẳng và có: Điểm chung; . Vậy giao tuyến là đường thẳng qua và song song với và

+ Ta có:

=>

Mà => .

Bài 6: Một bể kính chứa nước có đáy hình chữ nhật được đặt...

Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng mà mặt nước, mặt phẳng là mặt đáy của bể kính và là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng và là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến và .

Vì (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng và đôi một song song.

Vậy đường mép nước song song với cạnh của bể nước.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.9: Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây...

Giải chi tiết:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì nếu và không cắt nhau thì và có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau).

c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng và có thể trùng nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì và có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Bài tập 4.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Giải chi tiết:

a) Hai đường thẳng và song song với nhau do đáy là hình bình hành.

b) Hai đường thẳng và cắt nhau do đây là hai đường chéo của hình bình hành .

c) Hai đường thẳng và chéo nhau.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng và không chéo nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng, trái với giả thiết là hình chóp.

Bài tập 4.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

Giải chi tiết:

Xét có và lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên là đường trung bình của , suy ra và .

Tương tự ta có là đường trung bình của nên và .

Lại có đáy là hình bình hành nên và .

Khi đó, và . Vậy tứ giác là hình bình hành.

Bài tập 4.12: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang...

Giải chi tiết:

Xét có và lần lượt là trung điểm của các cạnh và nên là đường trung bình của tam giác , suy ra .

Mà đáy là hình thang có .

Do đó, . Vậy tứ giác là hình thang.

Bài tập 4.13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Giải chi tiết:

a)

=>

Mà => là điểm chung của và .

Lại có: và .

=> với đi qua ; .

b) Trong :

Vì =>

Vậy

Xét có là trung điểm của , và => MN là đường trung bình .

Bài tập 4.14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N...

Giải chi tiết:

a) Trong :

Trong :

=> ; =>

=>

=> ; =>

Do đó

Vậy hay là đường thẳng d cần tìm.

b) có là trung điểm => là đường trung bình

=> .

và mà

=> với

Vậy

Bài tập 4.15: (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật...

Giải chi tiết:

+) Mỗi cánh cửa ở Hình 4.29 đều có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của mỗi cánh cửa song song với nhau.

Khi đó ta có và

Lại có các đường thẳng a và d là đường thẳng giao tuyến giữa khung cửa và cánh cửa nên

Do vậy, bốn đường thẳng luôn đôi một song song với nhau.

Vậy khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.

+) Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.