1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Các mặt bậc thang trong...

Giải chi tiết:

- Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Hai mặt đối diện của hộp diêm gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Bài 2: Trong hình ảnh mở đầu...

Giải chi tiết:

Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt...

Giải chi tiết:

Do song song với mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng nên và cắt nhau theo giao tuyến song song với . Lí luận tương tự, ta thấy song song với . Từ đó suy ra a song song với hoặc trùng với (mâu thuẫn giả thiết).

Bài 2: Nếu không có điều kiện...

Giải chi tiết:

Giả sử hai đường thẳng và trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó và không song song với nhau. Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Bài 3: Trong không gian cho bốn điểm...

Giải chi tiết:

Vì nên

Vì nên

; ;

=>

Bài 4: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung...

Giải chi tiết:

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó và

Vì và là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên thì đường thẳng song song với mặt đất và thì đường thẳng song song với mặt đất.

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Bài 5: Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang...

Giải chi tiết:

Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

Bài 6: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song...

Giải chi tiết:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh: Cho ba mặt phẳng phân biệt có Theo tính chất bắc cầu ta có

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD...

Giải chi tiết:

Xét có hay

Suy ra (theo định lí Thalès).

Do đó Tương tự, nên

Vậy chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với

=> Nên

Lập lập tương tự ta có

và cùng đi qua điểm và nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm đồng phẳng.

Bài 8: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q)...

Giải chi tiết:

(hình 4.46)

a) Giả sử:

không cắt => . Mà

=> . Điều này mâu thuẫn với giả thiết

b) Vì => không thể chéo nhau.

=> không có điểm chung.

Giả sử: có điểm chung là => cũng có điểm chung là . Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Bài 9: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt...

Giải chi tiết:

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được // .

Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng với hai mặt phẳng và song song với nhau. Ta có

Trong mặt phẳng qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại () thì đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và mặt phẳng

3. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song...

Giải chi tiết:

a) Mặt phẳng và theo hai giao tuyến và Do đó, .

Mặt phẳng và theo hai giao tuyến và . Do đó, .

b) Xét có , theo định lí Thalès trong tam giác ta suy ra

Tương tự, xét có , ta suy ra .

Vậy .

Bài 2: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm...

Giải chi tiết:

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: .

Suy ra (cm).4. Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 3: Các hình ảnh dưới...

Giải chi tiết:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Bài 4: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ...

Giải chi tiết:

Xét mặt bên , theo lí thuyết, ta có //, lại có mặt phẳng () lần lượt cắt hai mặt phẳng song song và theo hai giao tuyến và nên // . Do vậy, tứ giác là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song).

Từ đó suy ra // và = .

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác...

Giải chi tiết:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song nên đôi một song song (1).

Ta có nên là hình thang.

Vì và ần lượt là trung điểm của cạnh và nên là đường trung bình của hình thang , suy ra đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra

=>

Do vậy là hình lăng trụ.

Bài 6: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Giải chi tiết:

Hình ảnh thứ hai từ trái sang phải trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Bài 7: Cho hình hộp...

Giải chi tiết:

Hình hộp có hai đáy và là các hình bình hành.

Ta có: (do là hình bình hành), do đó

Lại có: (các cạnh bên của hình hộp), do đó .

Trong có:

và

Vậy

Bài 8: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp...

Giải chi tiết:

Vì bể nước có dạng hình hộp nên nắp bể và đáy bể nằm trong hai mặt phẳng song song. Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. Vậy áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.21: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt...

Giải chi tiết:

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì hai mặt phẳng và có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng nằm trong

b) Mệnh đề b) là mệnh đề sai vì thiếu điều kiện hai đường thẳng đó phải cắt nhau.

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng vì và là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng thì và song song với nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì và cắt thì và có thể cắt nhau.

Bài tập 4.22: Cho hình lăng trụ tam giác...

Giải chi tiết:

Vì là hình hình lăng trụ tam giác nên và là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh nên là đường trung bình của hình thang , do đó =>

Tương tự, =>

Trong mp(MNP): ;

Vậy

Bài tập 4.23: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD...

Giải chi tiết:

Vì =>

Vì ABCD là hình thang có hai đáy là AB và CD =>

=>

có

Vậy

Bài tập 4.24: Cho hình tứ diện SABC...

Giải chi tiết:

Vì và =>

=> .

Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra: .

Mà nên , suy ra:

, do đó ; .

Sử dụng định lí Thalès ta cũng chứng minh được .

Mà nên , suy ra

, do đó và .

Vậy, và .

Bài tập 4.25: Cho hình lăng trụ tứ giác...

Giải chi tiết:

Vì là hình lăng trụ tứ giác.

=> ; Mà

=> (1).

Ta có: (Các cạnh bên của hình lăng trụ song song với nhau) (2)

Từ (1)(2) => là hình lăng trụ tứ giác. Vậy hình tạo bởi các điểm là hình lăng trụ tứ giác.

Bài tập 4.26: Cho hình lăng trụ tam giác...

Giải chi tiết:

a) Gọi là trung điểm của ; là trung điểm của => là đường trung bình của hình bình hành

=> và

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên

=> . Do đó, AMNA' là hình bình hành.

Suy ra

Vì và lần lượt là trọng tâm của và nên .

Do đó, .

Từ đó suy ra tứ giác là hình bình hành.

b) Vì tứ giác là hình bình hành =>

Tương tự: Tứ giác là hình bình hành =>

=>

Lại có:

Vậy là hình lăng trụ tam giác.

Bài tập 4.27: Cho hình...

Giải chi tiết:

là hình hộp => và .

=>

Tương tự

=>

Ta có: và =>

Tương tự:

Mà =>(2)

Từ (1) và (2) suy ra là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có và (do ) nên ABNM là hình bình hành.

Tứ giác có (do ) nên là hình bình hành.

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Bài tập 4.28: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng...

Giải chi tiết:

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau từng đôi một, mặt phẳng tường cắt mỗi mặt phẳng là các bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường nên các giao tuyến này song song với nhau.