1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là...

Giải chi tiết:

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ đến 0 là .

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Bài 2: Chứng minh rằng...

Giải chi tiết:

Xét dãy số có

Ta có:

;

Do đó, .

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn...

Giải chi tiết:

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

Do đó

Bài 4: Cho dãy số...

Giải chi tiết:

Ta có:

khi

Do vậy .

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m...

Giải chi tiết:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn...

Giải chi tiết:

+) Ta có:

Lại có:

khi

Do vậy,

+) Ta có: khi

Do vậy ,

Và khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy

Bài 2: Tìm...

Giải chi tiết:

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Làm quen với việc tính tổng vô hạn...

Giải chi tiết:

a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó .

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

b) Ta có:

Bài 2: Tính tổng...

Giải chi tiết:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và .

Do đó,

Bài 3: (Giải thích nghịch lí Zeno)...

Giải chi tiết:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

a)

+ Để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian .

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có và .

Ta có: (giờ)

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết giới hạn vô cực...

Giải chi tiết:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là với .

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có

Bài 2: Tính...

Giải chi tiết:

Ta có:

Ta có ;

Do đó,

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau...

Giải chi tiết:

a)

b)

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm...

Giải chi tiết:

a) Ta có: do đó,

và nên

Vậy

b) Ta có: và , do đó,

và nên

Vì với mọi n nên với mọi n và

Do đó,

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi...

Giải chi tiết:

a) Chia cả tử và mẫu của cho , ta được

vì

b)

Ta có:

Vì và

Nên

Vậy

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số...

Giải chi tiết:

a) Ta có:

Do là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và nên

Vậy

b) Ta có:

Do là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và nên:

Vậy

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc...

Giải chi tiết:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn .

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

(mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

Lại có là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội .

Do đó,

Suy ra

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A...

Giải chi tiết:

Tam giác vuông tại có

Do đó,

Ta có: và , suy ra

Tam giác vuông tại nên

Vì và nên AB // , suy ra (2 góc đồng vị).

Tam giác vuông góc tại nên

Vì và nên // suy ra

Tam giác vuông tại nên

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được

Ta có:

Vì góc là góc nhọn nên sin , do đó .

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội

Do đó