1. Góc giữa hai đường thẳng

Bài 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau…

Giải chi tiết:

a) Mỗi cặp và đều có điểm chung nên đồng phẳng.

b) Xét tứ giác có các cặp cạnh đối song song

hình bình hành.

Xét tức giác có

là hình bình hành.

c) Ta có: hình bình hành

có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Từ đó, áp dụng định lí côsin cho hai tam giác trên được các góc bằng nhau.

Bài 2: Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì?

Giải chi tiết:

Nếu song song hoặc trùng với và song song hoặc trùng với thì

Bài 3: Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập…

Giải chi tiết:

Gọi là trung điểm của thì

Vì nên .

Ta có: .

2. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Giải chi tiết:

Vì khuôn cửa và hai cánh cửa là các hình chữ nhật nên

Vậy .

Bài 2: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Giải chi tiết:

Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì có vuông góc với các đường thẳng song song với

Bài 3: Cho tam giác MNP vuông tại N…

Giải chi tiết:

Vì và

nên .

Nếu thì (vô lí).

Vậy nên chéo nhau.

3. Bài tập

Bài 7.1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các đáy là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C').

Giải chi tiết:

Vì nên (do tam giác đều)

Bài 7.2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Giải chi tiết:

+) Vì hình hộp có các cạnh bằng nhau nên tứ giác là hình thoi.

+) và nên

+) và nên

+) B'C // A'D và A'D nên

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Bài 7.3: Cho tứ diện ABCD…

Giải chi tiết:

a) Xét tam giác có

tương ứng là trung điểm của

là đường trung bình của tam giác

mà

.

b) Vì tương ứng là trọng tâm của các tam giác nên

mà

.

Bài 7.4: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Giải chi tiết:

Những cặp đường thẳng sau vuông góc với nhau :

Hoành (1) và quá giang (2) ;

Hoành (1) và rui (4)

Hoành (1) và cột (5)

Quá giang (2) và xà cái (3)

Quá giang (2) và cột (5)

Xà cái (3) và rui (4)

Xà cái (3) và cột (5).