1. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân…

Giải chi tiết:

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân thì hình chiếu của cột thu về chân cột nên ta không thể quan sát.

Bài 2:

a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A’ là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA’ có quan hệ gì với mặt phẳng (P)?

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là gì?

Giải chi tiết:

a) vuông góc với mặt phẳng

b) Trong trường hợp này, hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm của và

Bài 3: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau…

Giải chi tiết:

a) Hình chiếu vuông góc của a trên (P) là đường thẳng

b)

c)

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC…

Giải chi tiết:

a) Do

nên

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là

c) Do nên , mà

suy ra BC

Do dó .

d) Hình chiếu của mỗi tam giác trên mặt phẳng (ABC) lần lượt là tam giác

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 1: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?

Giải chi tiết:

Thông tin chưa đủ để xác định độ cao.

Bài 2: Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip…

Giải chi tiết:

a) Gọi là một vị trí của trục Trái Đất; tương ứng là hình chiếu của trên (P).

Nếu có phương không đổi thì hình chiếu của lên có phương không đổi; nên có phương không đổi.

Gọi là một vị trí trục của Trái Đất khác trục ; tương ứng là hình chiếu của trên (P).

Ta có: có phương khác phương chiếu;

// hoặc và trùng nhau (tính chất phép chiếu song song).

Vậy hình chiếu của trục Trái Đất có phương không đổi.

b) Gọi là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương chiếu của trục Trái Đất trên (P).

Suy ra m có phương không đổi.

Khi đó hình chiếu của trục Trái Đất xuống (P) thuộc đường thẳng m khi và chỉ khi tâm Trái Đất là giao của m với đường elip quỹ đạo của Trái Đất.

Vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất trên (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Bài 3: Cho đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và Δ?

Giải chi tiết:

Trường hợp 1. Đường thẳng không vuông góc với và cắt tại một điểm . Lấy điểm khác thuộc và gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Khi đó, và

Vậy góc giữa và phụ với góc giữa và .

Trường hợp 2: vuông góc với .

Trường hợp 3: song song hoặc thuộc .

Khi đó, và .

Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai trường hợp sau.

3. Bài tập

Bài 7.10: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC)…

Giải chi tiết:

a) Ta có nên A là hình chiếu của trên

b) A là hình chiếu của S trên

B là hình chiếu của B trên

C là hình chiếu của C trên

⇒ Hình chiếu của tam giác trên là tam giác

c) B là hình chiếu của C trên

S, B là hình chiếu của chính nó trên

⇒ Hình chiếu của tam giác trên là đoạn

Bài 7.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD…

Giải chi tiết:

a) là hình chiếu của trên

Xét tam giác vuông tại có

Xét tam giác SAC vuông tại A có

Vậy

b)

c) Gọi mà

là hình chiếu của trên (SAC)

Vậy hình chiếu của SB trên (SAC) là SO.

Bài 7.12: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC)…

Giải chi tiết:

a) Trong (SAB) kẻ tại D.

D là hình chiếu của trên (SBC).

b) là hình chiếu của trên

Xét tam giác vuông tại có

Xét tam giác SAC vuông tại A có

Vậy

Bài 7.13: Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P)…

Giải chi tiết:

a) +) Giả sử

Ta có (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

+) Giả sử

Ta có (hai cạnh góc vuông)

Vậy hai đường xiên khi và chỉ khi hai hình chiếu

b)

Bài 7.14: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh…

Giải chi tiết:

Sau 1 phút cả 2 máy bay cùng bay được quãng đường dài

Độ cao của máy bay 1:

Độ cao của máy bay 2:

Vì nên sau 1 phút từ khi cất cánh, máy bay 2 có độ cao cao hơn máy bay 1.

Bài 7.15: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

Giải chi tiết:

Giả sử một cột AB, bóng của cột AB là AM.

Khi đó Từ đó tính được góc