1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Hoạt động 1 trang 81 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t₀ đến t.

b) Giới hạn cho ta biết điều gì ?

Giải chi tiết:

a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ đến là

b) Khi càng gần , tức là càng nhỏ, thì tỉ số càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm tại thời điểm t₀.

Giới hạn cho ta biết vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

b) Cường độ tức thời

Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t$, có dạng $Q = Q(t)$.

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ $t_{0}$ đến $t$.

b) Giới hạn cho ta biết điều gì?

Giải chi tiết:

a) Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ đến là .

b) Khi càng gần , tức là càng nhỏ thì cường độ trung bình càng thể hiện được chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm

Giới hạn cho ta biết cường độ tức thời của vật tại thời điểm

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Hoạt động 2 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Luyện tập 1 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm y = tại điểm x_{0 =} -1

Giải chi tiết:

Vậy

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hoạt động 3 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

a) f(x) = c (c là hằng số);

b) f(x) = x.

Giải chi tiết:

.

Luyện tập 2 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² + 1

b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).

Giải chi tiết:

a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

b) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số (với là các hằng số) có đạo hàm là hàm số

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Hoạt động 4 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x₀; f(x₀)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x₀.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc k_PQ của cát tuyến PQ.

b) Khi x → x₀ thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Giải chi tiết:

a) Hệ số góc của cát tuyến PQ là:

b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm và khi hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm di chuyển trên tới điểm mà có giới hạn hữu hạn thì cát tuyến cũng sẽ tiến đến gần vị trí đường thẳng

Luyện tập 3 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1/2

Giải chi tiết:

Ta có nên . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là .

Hoạt động 5 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số y = x² có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x₀=1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Giải chi tiết:

a) Ta có nên .

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là

b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc có dạng

Vậy phương trình tiếp tuyến là

Luyện tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x² tại điểm có hoành độ x₀ = –1.

Giải chi tiết:

Ta có:

nên .
Ngoài ra, nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Vận dụng trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10⁰ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho là trung điểm , tia trùng với tia , tia Oy hướng lên trên.

Khi đó . Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h , suy ra đỉnh cầu có tọa độ .

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là
Ta có . Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là .

Do đó:

độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là .

BÀI TẬP

Bài tập 9.1 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Giải chi tiết:

a) Ta có:

.
Với .
Tính giới hạn .

Vậy .
b) Ta có:

.
Với.
Tính giới hạn .

Vậy

Bài tập 9.2 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Giải chi tiết:

a) Với bất kì, ta có:

.
Vậy hàm số có đạo hàm là .
b) Với bất kì, ta có

Vậy hàm số có đạo hàm là

Bài tập 9.3 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Giải chi tiết:

Với bất kì, ta có

Vậy hàm số có đạo hàm là .
a) Hệ số góc của tiếp tuyến là . Ngoài ra, ta có nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay .
b) Do nên . Suy ra .

Với , ta có hệ số góc của tiếp tuyến là , nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay .

Với , ta có hệ số góc của tiếp tuyến là , nên phương trình tiếp tuyến cẩn tìm là hay .

Bài tập 9.4 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Giải chi tiết:

Khi vật chạm đất thì , tức là .
Ta có :

.
Vận tốc của vật khi nó chạm đất là .

Bài tập 9.5 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Giải chi tiết:

Ta có:

.
a) Ta có:

.
b) Ta có là hệ số góc của đồ thị tại điểm , túc là .

Như vậy .
c) Do khoảng cách theo phương ngang giữa và là nên hoành độ tại điểm là 40. Ta có là hệ số góc của đồ thị tại điểm , tức là:

Do nên . Vậy phương trình parabol là .
d) Chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển và là .