1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Hoạt động 1 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ N)

Giải chi tiết:

a) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

b)

Kết luận:

Hàm số có đạo hàm trên và

Hoạt động 2 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm x>0.

Giải chi tiết:

Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Hoạt động 3 trang 89 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:

Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y=x³+x²tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³+x²)′ và (x³)′+(x²)′

Giải chi tiết:

a) Với bất kì, ta có:



Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số .
b)

Do đó .

Luyện tập 1 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)

Giải chi tiết:

a)
b)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

Hoạt động 4 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x²+1

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x

b) Tính và so sánh: y'(x) và y'(u).u'(x)

Giải chi tiết:

a)
b)
Vậy

Luyện tập 2 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)

Giải chi tiết:

a)

b)

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h≠0, biến đổi hiệu sin(x + h)- sin x$ thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn = 1và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa

Giải chi tiết:

a)
b) Với bất kì, ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số

Luyện tập 3 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số

Y = sin ()

Giải chi tiết:

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm số y=cos x. Bằng cách viết y = cosx = sin ()tính đạo hàm của hàm số y = cosx

Giải chi tiết:

Luyện tập 4 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số

y = 2.cos()

Giải chi tiết:

Hoạt động 7 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết y = tanx = (x ≠ + k, k ∈ Z, tính đạo hàm của hàm số y = tanx

b) Sử dụng đẳng thức x = tan() - x với x ≠ , k ∈ Z tính đạo hàm của hàm số y = cotx

Giải chi tiết:

a)

b)

Luyện tập 5 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số y = 2tan²x + 3cot-2x)

Giải chi tiết:

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

a) Hình lăng trụ đứng

Hoạt động 8 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t =, tìm giới hạn

b) Với y = , tính In y và tìm giới hạn của

c) Đặt t = e^x-1. Tính x theo t và tìm giới hạn

Giải chi tiết:

a) Ta có thì ;

b)

c)

Hoạt động 9 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức e^x+h - e^x = e^x(e^h - 1), tính đạo hàm của hàm số y = x^e tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức a^x = e^xlna (0< a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y=a^x

Giải chi tiết:

a) Với bất kì và , ta có:

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số
b) Ta có:

.

Luyện tập 6 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =

Giải chi tiết:

a)

b)

Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) sử dụng giới hạn =1và đẳng thức ln(x+h) –lnx = ln= ln(1+) tính đạo hàm của hàm số y = Inx tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức log_ax = (0< a≠ 1), hãy tính đạo hàm của y = log_ax

Giải chi tiết:

a) Với bất kì và ta có

Vậy hàm số có đạo hàm là hàm số
b) Ta có nên .

Luyện tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số log₂(2x-1)

Giải chi tiết:

Vì nên hàm số xác định trên

Ta có

Vận dụng 2 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH=-log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đỏi của pH đối với nồng độ [H+]

Giải chi tiết:

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ là đạo hàm của pH,

BÀI TẬP

Bài tập 9.6 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x³−3x²+2x+1

b) y=x²−4+3

Giải chi tiết:

1. .
2. .

Bài tập 9.7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =

Giải chi tiết:

1. .
2. .

Bài tập 9.8 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=xsin²x

b) y=cos²x+sin2x

c) sin3x-3sinx

d) tanx+cotx

Giải chi tiết:

a) .
b) Ta có .
c) Ta có .
d) Với , ta có .

Bài tập 9.9 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y = log₃(4x+1)

Giải chi tiết:

a) Ta có .
b) Ta có .

Bài tập 9.10 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số f(x) = 2sin²(3x-). Chứng minh rằng

Giải chi tiết:

Ta có
.
Khi đó .
Bài tập 9.11 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t)= 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây

b) Khi vật chạm đất.

Giải chi tiết:

a) Vận tốc của vật rơi tự do là .
Vận tốc của vật tại thời điểm giây là .
b) Khi vật chạm đất thì túc là .
Vận tốc khi vật chạm đất là .
Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Bài tập 9.12 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Giải chi tiết:

Vận tốc của hạt sau giây là (cm).

Ta có nên vận tốc cụ̣c đại của hạt là .