1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM CẤP HAI

Hoạt động 1 trang 95 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm cấp hai của một hàm số

a) Gọi g(x) là đạo hàm của hàm số y = sin(2x+). Tìm g(x)

b) Tính đạo hàm của hàm số y = g(x)

Giải chi tiết:

a)
b)

Luyện tập 1 trang 95 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = xe^2x

b) y = ln(2x + 3)

Giải chi tiết:

a)

b)

2. THANG ĐO LÔGARIT

Hoạt động 2 trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos2πt.

a) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.

Giải chi tiết:

a)
Ta có
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là .

b)

Vận dụng trang 96 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một chuyển động thẳng có phương trình s = 2t²+t⁴ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

Giải chi tiết:

Vận tốc tại thời điểm t là

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm là

Tại thời điểm giây, gia tốc của vật là

BÀI TẬP

Bài 9.13: Cho hàm số f(x) = x²e^x. Tính f''(0)

Giải chi tiết:

Ta có:

và
.
Vậy

Bài 9.14: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = ln(x + 1);

b) y = tan2x.

Giải chi tiết:

a) Tacó và .
b) Ta có và
.

Bài 9.15: Cho hàm số P(x) = ax² + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2

Giải chi tiết:

Ta có và . Do và ta thu được các phương trình và .
Từ đây ta tìm được

Bài 9.16: Cho hàm số f(x) = 2sin²(x+π/4). Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.

Giải chi tiết:

.
Khi đó .
Vậy với mọi .

Bài 9.17: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin(2πt+π/5), trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải chi tiết:

Ta có .
Gia tốc của hạt được cho bởi phương trình .
Gia tốc của hạt tại thời điểm giây là