BÀI 14. TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI VÀ THỨ BA CỦA TAM GIÁC (19 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Vẽ ∆ABC biết độ dài hai cạnh, AB = a, BC = b và

Đáp án:

Bước 1. Vẽ góc .

Bước 2. Xác định vị trí hai đỉnh còn lại của tam giác.

- Trên tia Bx, lấy điểm A sao cho AB = a;
- Trên tia By, lấy điểm C sao cho BC = b.

Bước 3. Nối đoạn thẳng AC, ta được ∆ABC.

Bài 2: Vẽ tam giác ABC có , AB = AC = 4 cm. Xác định độ dài cạnh BC.
Đáp án:
- Vẽ góc .
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 4cm.
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 4cm.
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.
Dùng thước đo độ dài, ta đo được BC = 4cm.

Bài 3: Vẽ tam giác ABC có , AB = 3cm, AC = 4 cm.

Đáp án:

- Vẽ góc .
- Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3cm.
- Trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 4cm.
- Vẽ đoạn thẳng BC ta được tam giác ABC.

Bài 4: Vẽ tam giác MNP biết MN = 4cm, MP = 5cm, .

Đáp án:

- Vẽ góc .
- Trên tia Mx lấy điểm N sao cho MN = 4cm.
- Trên tia My lấy điểm P sao cho MP = 5cm.
- Vẽ đoạn thẳng PN ta được tam giác MNP.

Bài 5: Vẽ tam giác ABC có , CA = CB = 3cm.

Đáp án:
- Vẽ góc .
- Trên tia Cx lấy điểm A sao cho CA = 3cm.
- Trên tia Cy lấy điểm B sao cho BC = 3cm.
- Vẽ đoạn thẳng AB ta được tam giác ABC.

2. THÔNG HIỂU (6 BÀI)

Bài 1: Cho ∆ABC và ∆ABD như hình vẽ. Chứng minh ΔABC = ΔABD.

Đáp án:
Xét ∆ABC và ∆ABD có:
AC = AD (giả thiết),
(giả thiết),
AB là cạnh chung.
Suy ra ΔABC = ΔABD (c.g.c)

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, vẽ các đoạn thẳng AC, BD bằng nhau và vuông góc với AB. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ΔAMC = ΔBMD.

Đáp án:
Vì AC, BD vuông góc với AB nên .
Lại có M là trung điểm của AB nên MA = MB.
Xét ∆AMC và ∆BMD có:
AC = BD (giả thiết)

AM = BM.
Suy ra ΔAMC = ΔBMD (c. g.c).

Bài 3: Cho ∆ABC và ∆A’B’C’ như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng

Đáp án:

D

Xét ∆ABC và ∆A’B’C’ có:
AB = B′C′

AC = A′C′.
Do đó ΔABC = Δ C′B′A′ (c.g.c).

Bài 4: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng?

Đáp án:

B
Quan sát hình vẽ, dễ chứng minh được:
ΔAOB = ΔCOD (c.g.c) (B đúng).
ΔAOD = ΔCOB (c.g.c) (A và C sai).

ΔADB = ΔDAC sai do BD ≠ AC (D sai).
Do đó chỉ có đáp án B đúng.

Bài 5: Cho hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?

Đáp án:

C
A. ΔAHD = ΔAHE (đúng theo c.g.c).
B. ΔAHB = ΔAHC (đúng theo c.g.c).
C. ΔABD = ΔAEC (sai vì AB ≠ AE ).
D. ΔADB = ΔAEC (đúng theo c.g.c).
Ở đáp án D, ta cần chỉ ra ; AD = AE (điều này được suy ra từ ΔAHD = ΔAHE).

Bài 6: Cho ∆ABC và ∆MNP có AB = NM, AC = NP, .
Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai

Đáp án:

C

Xét ∆ABC và ∆MNP có AB = NM, AC = NP, . Suy ra ΔABC = ΔNMP (c.g.c).
A. ΔABC = ΔNMP (đúng).
B. ΔBAC = ΔMNP (đúng).
C. ΔABC = ΔMNP (sai do đỉnh A, N không tương ứng).
D. ΔCAB = ΔPNM (đúng).

3. VẬN DỤNG (6 BÀI)

Bài 1: Cho góc nhọn . Trên tia Ax lấy hai điểm B và E, trên tia Ay lấy hai điểm D và C sao cho AB = AD, AE = AC. Chứng minh rằng ΔABC = ΔADE.

Đáp án:

Xét ∆ABC và ∆ADE ta có:
AB = AD (giả thiết),

chung,
AC = AE (giả thiết).
Do đó ΔABC = ΔADE (c.g.c).

Bài 2: Cho ∆ABC có AB = AC. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D.
Chứng minh rằng và BD = DC.

Đáp án:

Xét ∆ADB và ∆ADC có:
AB = AC (giả thiết)
(do AD là tia phân giác)
AD là cạnh chung.
Do đó ΔADB = ΔADC (c.g.c).
Suy ra:
(hai góc tương ứng);
BD = DC (hai cạnh tương ứng).

Bài 3: Cho ∆ABC. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm E sao cho IE = IB.
Chứng minh rằng:
a) AE = BC.

b) AE // BC.

Đáp án:

Xét ∆AIE và ∆CIB, ta có:
AI = CI (giả thiết);
(hai góc đối đỉnh);
IE = IB (giả thiết).
Do đó ΔAIE = ΔCIB (c.g.c).
Suy ra AE = BC (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ΔAIE = ΔCIB.
Suy ra (hai góc tương ứng) hay.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AE // BC .

Bài 4: Cho góc xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Gọi K là giao điểm của AB với tia phân giác của góc xOy. Chứng minh rằng:
a) AK = KB.
b) OK ⊥ AB.

Đáp án:

a) Xét ∆AOK và ∆BOK, ta có:
OA = OB (giả thiết),
(do AK là tia phân giác của góc O),

OK là cạnh chung.
Do đó ΔAOK = ΔBOK (c.g.c). Suy ra AK = BK (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có ΔAOK = ΔBOK. Suy ra (hai góc tương ứng).
Lại có ⇒ ⇒ OK ⊥ AB.

Bài 5: Cho ∆ABC có. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB (I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC (K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng:
a) IC = BK.
b) IC ⊥ BC.

Đáp án:

a) Ta có ;

.
Xét ∆AIC và ∆ABK, ta có
AI = AB (giả thiết),
AC = AK (giả thiết),

(=).

Do đó ΔAIC = ΔABK (c.g.c).
Suy ra IC = BK (hai cạnh tương ứng).
b) Gọi D là giao điểm của IC và AB, E là giao điểm của IC và BK.
Vì ΔAIC = ΔABK = Δ nên (hai góc tương ứng).
Lại có (hai góc đối đỉnh).
Mà ∆AID vuông tại A nên ⇒ ⇒ .
Xét ∆BED có .

Suy ra IC ⊥ BK

Bài 6: Cho đoạn thẳng BC, điểm H nằm giữa B và C. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC, trên đường thẳng đó lấy các điểm A và K sao cho HA = HK. Kẻ các đoạn thẳng AB, BK, KC, CA.
a) Chứng minh rằng BA = BK.
b) Chứng minh rằng BC là tia phân giác của góc ABK.
c) Kể tên các góc bằng góc BAH.
d) ∆ABC bằng với tam giác nào? Vì sao?

Đáp án:

a) Xét ∆AHB và ∆KHB, ta có
AH = KH (giả thiết),
(do AK ⊥ BC ),
BH là cạnh chung.
Do đó ΔAHB = ΔKHB (c.g.c).
Suy ra BA = BK (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có ΔAHB = ΔKHB.
Suy ra (hai góc tương ứng)
Suy ra BC là tia phân giác của .
c) Theo câu a ta có ΔAHB = ΔKHB suy ra (hai góc tương ứng).
d) ΔABC = ΔKBC (c.g.c) vì

AB =BK (chứng minh a);

(do BC là tia phân giác của);
BC chung

4. VẬN DỤNG CAO (2 BÀI)

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, điểm O nằm giữa A và B. Kẻ tia Ox vuông góc với AB. Trên tia Ox lấy các điểm C và D sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a) AD = CB.
b) OM = ON, OM vuông góc với ON.

Đáp án:

a) Xét ∆AOD và ∆COB, ta có
AO = CO (giả thiết),
(vì OD ⊥ AB),
OD = OB (giả thiết).
Do đó ΔAOD = ΔCOB (c.g.c).
Suy ra AD =BC (hai cạnh tương ứng).
b) Theo câu a) ta có ΔAOD = ΔCOB.
Suy ra:
(hai góc tương ứng);
BC = AD (hai cạnh tương ứng).
Mà M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên NB = MD .
Xét ∆OBN và ∆ODM có
OB = OD (giả thiết),
(chứng minh trên),
NB = MD (chứng minh trên).
Do đó ΔOBN = ΔODM (c.g.c).
Suy ra
ON = OM (hai cạnh tương ứng);
(hai góc tương ứng).
Ta lại có ⇒ .
Vậy MO ⊥ ON.

Bài 2: Cho ∆ABC. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC.
a) Trên tia đối của tia ED lấy điểm I sao cho EI = ED. Chứng minh rằng AI = DC.
b) Chứng minh rằng , DE // BC

Đáp án:

a) Xét ∆AEI và ∆CED ta có
EA = EC (giả thiết);
(hai góc đối đỉnh);
EI = ED (giả thiết).
Do đó ΔAEI = ΔCED (c.g.c).
Suy ra AI = CD (hai cạnh tương ứng).
b) Ta có ∆AEI và ∆CED (câu a)
Suy ra (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AI // DC.
Suy ra (hai góc đồng vị).
Xét Δ BDC và ∆DAI ta có

BD = DA (giả thiết),

(chứng minh trên),

DC = AI (chứng minh trên).
Do đó ΔBDC = ΔDAI (c.g.c). Suy ra DI = BC (hai cạnh tương ứng).
Mà ⇒ .
Ta lại có (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC .