BÀI 32: QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Đáp án:

Giả sử ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Bài 2: Hãy chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên trong hình 1

Đáp án:

Đường vuông góc: AH

Đường xiên: AB, AC

Bài 3: Cho đường thẳng a và điểm O (không thuộc đường thẳng a) hãy vẽ đường vuông góc và ba đường xiên kẻ từ điểm O đến đường thẳng a. Chỉ ra các đường xiên và đường vuông góc và đường xiên vừa vẽ

Đáp án:

Đường xiên: OB, OM, OK

Đường vuông góc: OH

Bài 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm H bất kì. So sánh AH và BH.

Đáp án:

Xét có BH là đường vuông góc và AH là đường xiên

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại B, ta lấy điểm M. So sánh MA và MB, MC và MB

Đáp án:

Xét có BM là đường vuông góc, MA và MC là đường xiên

;

Bài 6: Cho tam giác vuông tại có .

a) Hãy so sánh các cạnh của tam giác.

b) Lấy điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng . Hãy so sánh độ dài và .

Đáp án:

a) vuông tại có

Khi đó theo định lí ta có .

b) Xét có (gt)

là góc nhọn.

Mà (2 góc kề bù) là góc tù.

Xét có là góc tù

là góc nhọn hay .

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác nhọn và . Gọi là hình chiếu của trên . Hãy sắp xếp các đoạn thẳng và theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì nên theo định lí 2 bài 31 ta có

là hình chiếu của trên nên là độ dài đường vuông góc kẻ từ đến

và là các đường xiên kẻ từ A đến

Do đó .

Bài 2: Cho tam giác nhọn

a) Vẽ là hình chiếu của trên đường thẳng .

b) Vẽ là hình chiếu của trên đường thẳng .

c) Chứng minh rằng .

Đáp án:

c) Xét vuông tại nên là đường vuông góc kẻ từ đến

là độ dài đường xiên kẻ từ đến nên

Xét vuông tại nên là đường vuông góc kẻ từ đến ,
là đường xiên kẻ từ đến nên

Từ (1) và .

Bài 3: Cho hình vẽ. Cho . Chứng minh rằng:

Đáp án:

Xét vuông tại

Ta có là đường vuông góc kẻ từ đến là đường xiên kẻ từ đến nên theo định lí ta có (vì nên nằm giữa hai điểm và )

là góc ngoài của

Do đó là góc tù, xét vì tù

theo định lí ta có.

Bài 4:Cho tam giác nhọn, vẽ vuông góc với , vuông góc với . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Xét vuông tại ta có là đường vuông góc kẻ từ đến là đường xiên kẻ từ đến

Suy ra

CMTT với vuông tại ta cũng có

( là đường vuông góc kẻ từ đến và là đường xiên)

Cộng (1) và (2) ta có .

Bài 5: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE. So sánh BD + CE với AB + AC

Đáp án:

Ta có BD và CE là hai đường cao của ABC

và

là hai đường vuông góc ứng với hai đường xiên AC và AB

và (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có vuông tại (gt)

(quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BM = BD + DM

(1)

Lại có BM + ME = BE

(2)

Từ (1) và (2) (3)

Có M là trung điểm AC

Xét vuông tại D và vuông tại E, ta có:

AM = MC (cmt)

(2 góc đối đỉnh)

(ch-gn)

(2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) (dpcm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có BD và CE với. So sánh BD + CE với 2BC

Đáp án:

Ta có BC và CE lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ C đến AB

(1)

Ta có BC và BD lần lượt là đường xiên và đường vuông góc kẻ từ B đến AC

(2)

Từ (1) và (2)

(dpcm)

Bài 3: Cho ABC vuông tại A. Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm D và E (không trùng với đỉnh của . Chứng minh rằng DE < BE < BC

Đáp án:

Vì D nằm giữa A và B

Mà AD và AB lần lượt là hình chiếu của DE và BE trên AB

(1)

Vì E nằm giữa A và C

Mà AE và AC lần lượt là hình chiếu của BE và BC trên AC

(2)

Từ (1) và (2)

Bài 4: Cho ABC có . Trên cạnh AB và AC, lấy lần lượt hai điểm M và N (không trùng với đỉnh của . Chứng minh rằng AB < BN < BC

Đáp án:

Từ B kẻ BH AC, vì là góc tù nằm ngoài AC

Lúc này, AB, BC, BN là các đường xiên kẻ từ B đến AC

AH, CH và NH là các hình chiếu của AB, BC và BN trên AC

Lại có AH < NH < CH AB < BN < BC (dpcm)

Bài 5. Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì PE > DP (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Bài 1: Cho , trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Chứng minh rằng OA + OB < 2AB.

Đáp án:

Kẻ tia phân giác Ot của

Gọi I là giao của AB và Ot

H và K lần lượt là hình chiếu của A, B trên tia Ot.

Xét có nên OI = 2AI.

Mà OA < OI suy ra OA < 2AI (1)

CMTT ta có OB < 2BI (2)

(Vì trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền)

Từ (1) và (2) OA + OB < 2AI + 2BI

Mà AI + BI = AB

OA + OB < 2AB

Bài 2.Cho tam giác ABC

a) Từ A kẻ . Chứng minh rằng

b) Từ B kẻ từ C kẻ . Chứng minh rằng AH + BK + CI nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

a) AH < AC, AH < AB (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Vậy (1)

b) Tương tự: (2); (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:

Hay