BÀI 34: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho G là trọng tâm tam giác MNP có trung tuyến MK. Tính ?

Đáp án:

G là trọng tâm nên G là giao điểm của ba đường trung tuyến

Mà MG + GK = MK, do đó,

Bài 2: Cho hình vẽ:

So sánh BG và BE

Đáp án:

Ta có AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của ABC và chúng cắt nhau tại G

G là trọng tâm của ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có:

Bài 3: Cho hình vẽ sau:

So sánh AG và GD

Đáp án:

Ta có AD, BE và CF là ba đường trung tuyến của ABC và chúng cắt nhau tại G

G là trọng tâm của ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có:

Bài 4: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Tính độ dài đoạn AG?

Đáp án:

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC và AM là đường trung tuyến nên .

cm

Bài 5: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Chứng minh ID = IE

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Bài 6: Cho tam giác MNP có , các tia phân giác của góc M và góc N cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP. TÍnh IE biết ID = 4cm

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Mà ID = 4cm

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho ΔABC không cân, có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. So sánh AG và GM

Đáp án:

Do hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G nên ta có:

Mà AG + GM = AM nên

Vậy AG = 2GM

Bài 2: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I

a, Biết rằng , tính số đo

b, Biết rằng , tính số đo

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC, ta tính được

Vì thế +

Vậy

a, Xét tam giác BIC, ta có được

Vì thế +

Vậy

Bài 3: Cho tam giác ABC đều có G là trọng tâm. Chứng minh GA = GB = GC

Đáp án:

a, Các tia AG, BG, CG cắt BC, AC và AB lần lượt tại D, E, F

D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC và AB

Mà BC = AC = AB (tam giác ABC đều)

Xét và , ta có:

AB = AC

chung

AE = AF

= (c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Cmtt có = (c.g.c)

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC (gt)

Mà (cmt)

Bài 4: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của và cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến AB và AC.

a) Biết ID = 3 cm. Tính IE?

b) Biết ID = x + 2, IE = 2x − 4. Tìm x

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I

I là giao điểm ba đường phphaaniasc trong tam giác ABC

AI là đường phân giác của góc A và I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất)

Vì I là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên ID = IE = 3cm

b, Ta có ID = IE (cmt)

Bài 4: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của và cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến AB và AC.

a) Biết ID = 3 cm. Tính IE?

b) Biết ID = x + 2, IE = 2x − 4. Tìm x

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I

I là giao điểm ba đường phphaaniasc trong tam giác ABC

AI là đường phân giác của góc A và I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất)

Vì I là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên ID = IE = 3cm

b, Ta có ID = IE (cmt)

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho hai đoạn thoẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:

a, I là trọng tâm và K là trọng tâm

b, BI = IK = KD

Đáp án:

a, ABC có hai đường trung tuyến BO và AM cắt nhau tại I

là trọng tâm của ABC

CMTT ta có K là trọng tâm của ADC

b, là trọng tâm của ABC (cmt)

Mà BO = OD (gt)

Bài 2: Cho tam giác vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính

b, Chứng minh

c, Chứng minh

Đáp án:

a, Xét có:

AM = MD (gt)

BM = MC (gt)

(c.g.c)

Và (2 góc tương ứng)

AC // BD

Mà AB AC

AB BD

b, Xét có:

AB chung

AC = BD (cmt)

(c.g.c) (1)

c, Từ (1) (2 cạnh tương ứng)

Mà

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho . Chứng minh rằng

Đáp án:

Vẽ AF BD, CG BD, CH AE

Ta có cân tại A (gt)

và

Xét và vuông, ta có:

= (ch – gn)

(2 cạnh tương ứng)

Có BD là đường trung tuyến của

Xét và vuông, ta có:

(2 góc đối đỉnh)

= (ch – gn)

(2 cạnh tương ứng)

Mà (cmt)

Xét và vuông, ta có:

(cmt)

EC chung

= (ch – cgv)

(hai góc tương ứng)

Lại có là góc ngoài của

là góc ngoài của

(3)

Lại có (vì ) (4)

Từ (3) và (4), ta có: – ( = ( (

–

Mà (gt)

=

Mà = (gt)

=

Bài 4: Cho tam giác ABC có . Các đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O. Đường phân giác góc ngoài của tam giác tại đỉnh B cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:

a)

b)

c) Các điểm D, E, F thẳng hàng.

Đáp án:

a) AD và CE là hai tia phân giác cắt nhau tại O. Vậy BO là tia phân giác của nên .

b) nên

Tính được nên AF là phân giác của . Vậy F là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại A và B của tam giác ABD .

c) Tam giác ADC có AE là tia phân giác của góc ngoài; CE là tia phân giác trong

=> DE là tia phân giác của góc BDA (theo b)

Vậy DE và DF trùng nhau, hay D, E, F thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác vuông tại , trên tia đối của tia lấy điểm sao cho là trung điểm của vẽ đường thẳng vuông góc với tại , đường thẳng này cắt tại .

a) Chứng minh .

b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh các đường thẳng , DF đồng quy.

Đáp án:

a) Xét và EIA có

EI: cạnh chung

ID IA

Do đó (hai cạnh góc vuông)

(góc tương ứng)

b) (1) (góc tương ứng)

Vi EI (2) (2 góc so le trong)

Và (3) (đồng vị)

Từ (1) (2) và (3) hay cân tại

mà hay là trung điểm của nên là đường trung tuyến của lại có là trung điểm của (gt)

Nên là đường trung tuyến thứ hai, là trung điểm của nên là trung tuyến thứ ba. Do đó đồng quy.

Bài 6: Cho tam giác có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

Đáp án:

Vì I là giao điểm các phân giác của tam giác ABC

I thuộc thia phân giác

Hạ KD BC, KE AC, KF AB

Vì K thuộc tia phân giác của

Mà K thuộc tia phân giác của

K thuộc tia phân giác (2)

Từ (1) và (2) I và K cùng thuộc tia phân giác

Vì vậy 3 điểm A, I, K thẳng hàng

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Có hai con đường cắt nhau (tại vị trí A) và cùng cắt một con sống tại hai địa điểm khác nhau B và C. Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ địa điểm đó đến hai con đường và đến sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy?

Đáp án:

Hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tạo thành tam giác ABC.

Vì khoảng cách từ điểm cần xây đến hai con đường và bờ sông là như nhau nên địa điểm để xây dựng đài quan sát thỏa mãn đề bài có thể là

- TH1: giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.

- TH2 : giao điểm M của hai tia phân giác ngoài và một tia phân giác trong. Ta có ba điểm M như vậy.

Vậy có tất cả 4 điểm có thể xây dựng đài quan sát thỏa mãn điều kiện.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Gọi ba điểm M, N, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các đường thẳng AB, AC, BC, biết IN = x + 5 và IM = 3x – 1. Tìm x

Đáp án:

Trong tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IM

x + 5 = 3x -1

2x = 6