LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ABC biết rằng: AB = 5cm, BC = 8cm, AC = 7cm

Đáp án:

ABC có AB < AC < BC < < (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: So sánh các cạnh của ABC, biết ,

Đáp án:

ABC, ta có (tổng 3 góc trong một tam giác)

(định lí 2)

Bài 3: Cho 3 điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại B lấy điểm A bất kì. So sánh AB và AM.

Đáp án:

Xét có AM là đường vuông góc và AB là đường xiên

Bài 4: Cho ba điểm B, M, C thẳng hàng, M nằm giữa B và C. Trên đường thẳng vuông góc với BC tại M, ta lấy điểm A. So sánh BA và AM, AC và AM

Đáp án:

Xét có AM là đường vuông góc, BA và AC là đường xiên

;

Bài 5: Có bao nhiêu tam giác có độ dài 2 cạnh là 2cm và 4cm, độ dài cạnh còn lại là một số nguyên (cm)

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh còn lại là a (cm) (a > 0)

Ta có 2 + 4 > a > 4 – 2

Vậy có 3 tam giác tương ứng là {2, 3, 4}; {2, 4, 4}; {2, 4, 5}

Bài 6: Cho tam giác ABC có AC = 3cm, BC = 6cm. Tính AB biết AB là một số nguyên tố

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AB là a (a > 0)

Ta có

Mà a là một số nguyên tố

Vậy có 2 tam giác tương ứng là {3, 5, 6}; {3, 6, 7}

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: So sánh các góc của ABC biết rằng độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6

Đáp án:

Xét ABC, có độ dài các cạnh AB, BC, AC lần lượt tỉ lệ với 5, 8, 6

<

Bài 2: So sánh các cạnh của ABC biết rằng số đo các góc lần lượt tỉ lệ với 4, 3, 8

Đáp án:

Xét ABC, số đo các góc lần lượt tỉ lệ với 3, 4, 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(tổng 3 góc trong một tam giác)

Bài 3: Cho tam giác nhọn và . Gọi là hình chiếu của trên . Hãy sắp xếp các đoạn thẳng và theo thứ tự độ dài tăng dần.

Đáp án:

Vì nên theo định lí 2 bài 31 ta có

là hình chiếu của trên nên là độ dài đường vuông góc kẻ từ đến

và là các đường xiên kẻ từ A đến

Do đó .

Bài 4: Cho tam giác nhọn có là hình chiếu của trên đường thẳng , là hình chiếu của trên đường thẳng . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Xét vuông tại là đường vuông góc kẻ từ đến

là độ dài đường xiên kẻ từ đến

Xét vuông tại là đường vuông góc kẻ từ đến ,
là đường xiên kẻ từ đến

Từ (1) và .

Bài 5: Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng và . Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó tính theo centimet là một số nguyên tố, tam giác là tam giác gì?

Đáp án:

Gọi cạnh cần tìm là .

Theo bất đẳng thức tam giác

Xét tam giác trên ta có hai cạnh là 5.

Do đó là tam giác cân.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có một cạnh bằng 12 cm. Tính cạnh BC biết chu vi tam giác là 32 cm

Đáp án:

Tam giác ABC cân tại A

TH1: hai cạnh bên bằng 12 cm

cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 12 + 12 = 24 > BC = 8 (cm)

AB + BC = 12 + 8 = 20 > AC = 12 (cm)

AC + BC = 12 + 8 = 20 > AB = 12 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

TH1: BC = 12 cm

cm

Xét thấy ta có:

AB + AC = 10 + 10 = 20 > BC = 12 (cm)

AB + BC = 10 + 12 = 22 > AC = 10 (cm)

AC + BC = 10 + 12 = 22 > AB = 10 (cm)

Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

Vì vậy tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 12 cm, BC = 8cm

Hoặc AB = AC = 10 cm, BC = 12cm

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, CK vuông góc với AB tại K. So sánh và

Đáp án:

ABC có AB < AC suy ra < (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)

Có

Mà <

Bài 2: Cho tam giác có . Tia phân giác của góc cắt tại , tia phân giác của góc cắt tại . Hai tia phân giác và cắt nhau tại .

a) So sánh HA và HB

b) So sánh và .

Đáp án:

a) Ta có là tia phân giác của góc

,

BE là tia phân giác của góc

Mà

hay

Vậy HB.

b) Trên lấy điểm sao cho .

Ta có (c.g.c)

(góc tương ứng) và mà (kề bù), tương tự mà (góc ngoài của ) trong có

mà .

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, H là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C xuống đường thẳng BM. Chứng minh BD + BE > 2AB

Đáp án:

Ta có vuông tại (gt)

(quan hệ giữ đường xiên và đường vuông góc)

Mà BH = BD + DH

(1)

Lại có BH + HE = BE

(2)

Từ (1) và (2) (3)

Có H là trung điểm AC

Xét vuông tại D và vuông tại E, ta có:

AH = HC (cmt)

(2 góc đối đỉnh)

(ch-gn)

(2 cạnh tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) (dpcm)

Bài 4: Trong ABC lấy điểm D. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB < AC

Đáp án:

Kẻ AP BD

Gọi E là giao điểm của AC và BD

Ta có, DP và BP lần lượt là hình chiếu của AD và AB trên BE

Mà AB = AD (gt) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Vì PE > DP (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Mà AC > AE

Bài 5: Cho tam giác có , tia phân giác góc cắt đoạn thẳng ở . Trên đoạn thẳng lấy điểm .

Chứng minh: .

Đáp án:

Trên lấy điểm sao cho

Xét có:

AF = AC (gt)

AE chung

(AD là phân giác góc A)

(c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Xét , ta có

Mà

.

Mặt khác

Do đó (đpcm)

Bài 6. Cho có AB < AC và AD là tia phân giác của góc A (D . Gọi E là một điểm bất kì thuộc cạnh AD (E khác A). Chứng minh AC – AB > EC - EB

Đáp án:

Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho B = AF

Xét và có

AB = AF

AE chung

= (c.g.c)

Xét có FC > EC – EB (1)

Mà FC = AC – AF mà AF = AB FC = AC – AB (2)

Từ (1) và (2) FC = AC – AB > EC - EB

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác nhọn BAC có AB < AC và hai đường cao BE, CF. Chứng minh rằng AC + BE > AB + CF.

Đáp án:

Trên AC lấy điểm B’ sao cho AB’ = AB.

Kẻ B’E’ AB, B’H FC, ta có:

AC + BE = AB’ + B’C + B’E’

= AB + B’C + FH > AB + HC + FH = AB + CF

AC + BE > AB + CF

Bài 2: Chứng minh rằng nếu điểm M nằm trong tam giác ABC thì tổng các khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác ấy nhỏ hơn chu vi, nhưng lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Đáp án:

Trong có AM + MB > c

Trong có AM + MC > b

Trong

2(AM + MB + MC) > a + b + c

Hay AM + BM + MC >

Gọi N là giao điểm của AM và BC

Ta có AC + BC = (AC + CN) + NB > AN + NB

= AM + (MN + NB) > AM + MB, tức MA + MB < a+ b

Tương tự, MB + MC < b + c, MC + MA < c + a

Suy ra 2(MA + MB + MC) < 2(a + b + c)

Hay MA + MB + MC < a + b + c