LUYỆN TẬP CHUNG

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Chứng minh rằng ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác thì ABC là tam giác cân tại A

Đáp án:

Kẻ MH AB, MK AC

Vì AM là tian phân giác của nên MH = MK (tính chất tia phân giác)

Xét MHB và MKC, ta có:

=

MH = MK (cmt)

MB = MC (gt)

MHB = MKC (ch – cgv)

= (Hai góc tương ứng)

ABC cân tại A

Bài 2: Cho góc bằng 60, điểm A nằm trong . Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB. Vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. Chứng minh rằng OB = OC.

Đáp án:

Vì Ox là đường trung trực của AB

OB = OA (t/chất đường trung trực) (1)

Vì Oy là đường trung trực của AC

OA = OC (t/chất đường trung trực) (2)

Tư (1) và (2) OB = OC.

Bài 3: Cho ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm của BC

Đáp án:

Ta có các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của

Gọi H là trung điểm của BC

Lại có, trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.

Vậy AK đi qua trung điểm H của BC.

Bài 4: Cho ABC cân tại A. D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF

Đáp án:

Xét cân tại A và DB = DC (gt)

Đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của

Ta có DE AB (gt) DF AC (gt)

DE = DF (tính chất đường phân giác của góc)

Bài 5: Cho ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng

Đáp án:

ABC cân tại A

Đường phân giác AI đồng thời là trung tuyến

AI đi qua trọng tâm G của ABC

Vậy A, I, G thẳng hàng

Bài 6: Cho hình bên. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.

Đáp án:

Vì AC = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của CD.

Vì BC = BD (gt) nên B thuộc đường trung trực của CD.

Vì A ≠ B nên AB là đường trung trực của CD.

Vậy AB ⊥ CD.

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. Chứng minh rằng AD = AE

Đáp án:

Vì I là giao điểm các đường phân giác trong của và nên AI là tia phân giác của .

Suy ra: ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)

Vì ΔADI vuông tại D có AI là tia phân giác góc

=

vuông cân tại A

(2)

Vì vuông tại E có

vuông cân tại E

(3)

Từ (1), (2) và (3)

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF.

Đáp án:

Ta có điểm I cách đều ba cạnh của ABC và nằm trong ABC

I là giao điểm của ba đường phân giác của ABC

BI, CI lần lượt là tia phân giác của và góc .

Do EF // BC nên = . (so le trong).

Lại có: ( vì BI là tia phân giác của góc B )

Suy ra: =

BEI cân tại E

CMTT ta có IF = CF

EF = EI + IF = BE + CF.

Bài 3: Hai đường phân giác AA1 và BB1 của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc , nếu = 136

Đáp án:

Ta có: + += 180 ( tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra: = 180º – (+ )

Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C.

+ ) = + = 180 − = 180 − 136 = 44

Suy ra + )= 2.44 = 88

= 180 − 88 = 92

Vậy = = 92 : 2 = 46

Bài 4: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC chung đáy BC. Chứng minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.

Đáp án:

Xét vuông cân tại A

A thuộc đường trung trực của BC (1)

Xét cân tại D

D thuộc đường trung trực của BC (2)

Xét cân tại E

E thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1), (2) và (3) A, D, E thẳng hàng

Bài 5: Cho ABC có , các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính

Đáp án:

Trong ABC, ta có (tổng 3 góc trong một tam giác)

Ta có: (BD là tia phân giác)

(CE là tia phân giác)

Xét BIC, ta có

(tổng 3 góc trong tam giác)

Bài 6: Cho hai điểm D, E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng ΔBDE = ΔCDE.

Đáp án:

Vì D thuộc đường trung trực của BC

DB = DC (tính chất đường trung trực)

Vì E thuộc đường trung trực của BC

EB = EC (tính chất đường trung trực)

Xét ΔBDE và ΔCDE, ta có:

DB = DC (cmt)

DE cạnh chung

EB = EC (cmt)

Suy ra: ΔBDE = ΔCDE (c.c.c).

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Bài 1: Đường cao của tam giác đều cạnh 4 có bình phương độ dài đường cao là

Đáp án:

Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = 4

Ta có AM là đường trung tuyến

AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay tại M

Ta có:

Xét tam giác AMC vuông tại M, ta có:

Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh 4 là 12

Bài 2: Cho tam giác ABC có là các góc nhọn). Vẽ phân giác AD. So sánh BD và CD

Đáp án:

Ta có có

Trên lấy điểm E sao cho

Xét có:

AC = AE (gt)

(tính chất tia phân giác)

AD chung

(c.g.c)

(2 cạnh tương ứng) (1)

Và (2 góc tương ứng)

Mà là góc nhọn là góc nhọn

sẽ là góc tù

(2)

Từ (1) và (2)

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của BD lấy I sao cho BI = AC. Trên tia đối của CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AI = AK

Đáp án:

Xét có: (2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông)

Xét có: (2 góc nhọn phụ nhau trong tam giác vuông)

Lại có (hia góc kề bù)

Từ (1), (2)

Xét và , có

BA = CK (gt)

(cmt)

BI = AC (gt)

= (c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy điểm D sao cho AB là trung trực của HD. Lấy điểm E sao cho AC là trung trực của HE. Gọi M là giao điểm của DE với AB, N là giao điểm của DE với AC. Chứng minh rằng HA là tia phân giác của

Đáp án:

Vì DHE có AB, AC là hai đường trung trực của tam giác cắt nhau tại A nên A cách đều ba đỉnh của tam giác

AD = AH = AE.

E có AD = AE

ADE cân tại A

(1)

Xét và , có

AM là cạnh chung

(cmt)

DM = HM (M thuộc trung trực của DH)

= (c.c.c)

(2 góc tương ứng) (2)

Xét và , có

AN là cạnh chung

(cmt)

NH = NE (N thuộc trung trực của EH)

= (c.c.c)

(2 góc tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3)

là phân giác của

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia phân giác AI cắt BC tại M. Khi đó tam giác MED là tam giác gì?

Đáp án:

Xét có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại I

là đường cao của

Mà AI cắt BC tại M

Vì cân tại A (gt)

là đường cao cũng là đường trung tuyến của

(tính chất đường trung tuyến)

Lại có CE, BD

Xét có M là trung điểm của BC

là trung tuyến của

(1)

Xét có M là trung điểm của BC

là trung tuyến của

(2)

Từ (1) và (2)

cân tại M

Bài 6. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx , trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính

Đáp án:

Ta có

Xét

MA = MC (gt)

(đối đỉnh)

Xét

MB = MD (gt)

Xét

Lại có

=

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho tam giác , hai đường trung tuyến và cắt nhau tại . Trên tia đối của tia MA lấy điểm sao cho .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh .
c) Chứng minh .
d) Gọi I là trung điểm của cắt tại .
Chứng minh .

Đáp án:

a) Hai trung tuyến và cắt nhau tại nên là trọng tâm

Ta có

Lại có

Từ (1) và .

b) Xét và có

(gt). Do đó (c.g.c)

(góc tương ứng)

(cặp góc so le trong bằng nhau)

c) Chứng minh tương tự có (c.g.c)

. Do là trọng tâm nên

Mà .

d) Xét có là trung điểm của nên là đường trung tuyến của lại có là đường trung tuyến thứ hai mà cắt tại nên là trọng tâm của .

Bài 2: Cho tam giác cân tại , trung tuyến .

a) Chứng minh .

b) Từ kẻ . Chứng minh cân.

c) Chứng minh .

d) Trên tia đối của tia MF lấy điểm I sao cho .

Gọi là giao điểm của và . là giao điểm của và . Chứng minh rằng đồng quy.

Đáp án:

Xét và có

là cạnh chung

AB = AC (gt)

MB = MC (gt)

(c.c.c) (góc tương ứng)

Xét và có

AM: cạnh chung

(cạnh huyền - góc nhọn) (cạnh tương ứng) hay cân tại .

b) Có thể chứng minh bằng cách xét hiệu

Khi có hai tam giác vuông BEM và bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền góc nhọn.

c) Ta có cân tại

Tương tự cân tại

(1) (2)

(cặp góc đồng vị bằng nhau)

Lại có (góc tương ứng)

Mà (kề bù

Hay mà

d) Ta có (cạnh tương ứng)

Lại có

Xét và có

Do đó (cạnh huyền - góc nhọn)

(góc tương ứng) lại có đ

Xét và có

là cạnh chung

(cmt)

Do đó (c.g.c)

(cạnh tương ứng) hay là trung điểm của vậ là đường trung tuyến của lại có là trung tuyến thứ hai ( là trung điểm của

Dễ thấy (c.g.c)

Hay là trung điểm của .

Vậy IP là đường trung tuyến thứ ba.

Do đó ba đường trung tuyến , và IP đồng quy.