BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Bài 1: Cho có . So sánh , ,

Đáp án:

Xét ABC có AB > BC > AC > > (Định lí 1 – quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Bài 2: Cho tam giác , biết , số đo độ dài cạnh là một số nguyên. Độ dài nào sau đây có thể là độ dài của cạnh ?

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh AC là x

Xét ABC, ta có

Mà x là số nguyên

Vậy độ dài cạnh AB là 3cm.

Bài 3: Cho tam giác có là đường trung tuyến và là trọng tâm. Biết , . Tìm giá trị của x

Đáp án:

Tam giác có là đường trung tuyến và là trọng tâm

Bài 4: Cho có là hai đường trung tuyến, là trọng tâm. Tính tỉ số

Đáp án:

Xét có G là trọng tâm

Bài 5: Cho góc có số đo bằng là tia phân giác của góc là điểm nằm trên tia sao cho khoảng cách từ đến cạnh là . Tính khoảng cách từ đến cạnh

Đáp án:

Ta có Oz là tia phân giác của góc xOy, M Oz

Khoảng cách từ M đến Oy bằng khoảng cách từ M đến Ox

Mà khoảng cách từ M đến Oy là 5cm

Khoảng cách từ M đến Ox là 5cm

Bài 6: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm M bất kì. So sánh AM và BM.

Đáp án:

Xét có BM là đường vuông góc và AM là đường xiên

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác với . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho . Trền tia đối của tia lấy điểm sao cho . Nối các đoạn thẳng . Hãy so sánh:

a) và

b) Các đoạn thẳng và .

Đáp án:

Vì AC < AB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) (1)

ACE có AC = AE (gt)

ACE cân tại C

Có là góc ngoài tại đỉnh C của ACE

(2)

ABD có AB = BD (gt)

ABD cân tại B

Có là góc ngoài tại đỉnh B của ABD

(3)

Từ (1), (2) và (3) hay

b, Xét có hay

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 6cm, AM = 4cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

Đáp án:

Có ABC cân tại A (gt)

Mà AM là trung tuyến

AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC

M là trung điểm của BC

cm

Xét ABC vuông tại M có (định lí pytago)

cm

Bài 3: Cho tam giác vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BH = BD. CH cắt AD tại K. Tính số đo góc CKA

Đáp án:

Gọi I là giao điểm của DH và AC

Chứng minh được DI AC.

Xét ADC có AB DC, DI AC

H là trực tâm của ADC

CK là đường cao của ADC hay DK AD

Do đó

Bài 4: Cho tam giác nhọn có là hình chiếu của trên đường thẳng , là hình chiếu của trên đường thẳng . Chứng minh rằng .

Đáp án:

Xét vuông tại là đường vuông góc kẻ từ đến

là độ dài đường xiên kẻ từ đến

Xét vuông tại là đường vuông góc kẻ từ đến ,
là đường xiên kẻ từ đến

Từ (1) và .

Bài 5: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Chứng minh ID = IE

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Bài 6: Tìm x biết CI và BI là phân giác của và

Đáp án:

Ta có = 2 = 2.(

(tổng ba góc trong một tam giác)

Lại có CI và BI lần lượt là hai tia phân giác của và

là giao điểm ba đường phân goác trong ΔABC

là tia phân giác của

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có = Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Tính góc

Đáp án:

ABC có + (tổng ba góc trong một tam giác)

Mà = (gt)

=

Có AO, CO lần lượt là tia phân giác của và

BO là tia phân giác của

Xét OBC, ta có:

+ (tổng ba góc trong một tam giác)

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D, biết , tính

Đáp án:

Xét có:

Xét có:

Từ (1) và (2)

Mà

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AI = AK

Đáp án:

Xét (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

Xét (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)

(1)

Lại có: (2) (hai góc kề bù)

Từ (1) và (2)

Xét và , ta có:

AB = CK (cmt)

BI = AC (gt)

2 góc đối đỉnh);

= (c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH. Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD. Vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE.DE cắt AB,AC theo thứ tự ở I,K.

a) Tam giác IDH là tam giác gì? IB là đường gì đối với △IDH ?

b) Chứng minh rằng =

Đáp án:

là đường trung trực của .

cân tại .

vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến, vừa là đường trung trực của .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có là đường phân giác của .

Xét , có

là đường phân giác của góc ngoài tại

là đường phân giác của góc ngoài tại ,

chúng cắt nhau ở nên là tia phân giác của góc .

.

Bài 5: Cho tam giác ABC có . Các đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O. Đường phân giác góc ngoài của tam giác tại đỉnh B cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:

a)

b)

c) Các điểm D, E, F thẳng hàng.

Đáp án:

a) AD và CE là hai tia phân giác cắt nhau tại O. Vậy BO là tia phân giác của .

b)

Tính được AF là phân giác của .

Vậy F là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại A và B của tam giác ABD .

c) tam giác ADC có AE là tia phân giác của góc ngoài; CE là tia phân giác trong

DE là tia phân giác của (theo b).

Vậy DE và DF trùng nhau, hay D, E, F thẳng hàng.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài và nằm trên tiap phân giác của góc A.

Đáp án:

Vẽ tia Bx là tia đối của tia BA và tia Cy là tia đối của tia CA.

Vẽ hai tia phân giác của hai góc CBx và BCy.

Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc CBx và BCy.

Vẽ

và

Vì I thuộc tia phân giác của góc CBx nên IH = IP tương tự I thuộc tia phân giác của góc Bcy nên IP = IK.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm về một phía của d sao cho AB không vuông góc với d. Hãy tìm trên d một điểm M sao cho |MA−MB| có giá trị nhỏ nhất.

Đáp án:

Ta có |MA − MB| ≥ 0 với một điểm M tùy ý và |MA − MB| = 0 chỉ với các điểm M mà MA = MB, tức là chỉ với các điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt khác M phải thuộc d. Vậy M là giao điểm của đường thẳng d và đường trung trực của đoạn thẳng AB. Có giao điểm này vì AB không vuông góc với d.

Tóm lại: Khi M là giao điểm của d và đường trung trực của đoạn thẳng AB thì |MA − MB| đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 0.

Bài 2: Cho tam giác có , tia phân giác góc cắt đoạn thẳng ở . Trên đoạn thẳng lấy điểm .

Chứng minh: .

Đáp án:

Trên lấy điểm sao cho

Xét có:

AF = AC (gt)

AE chung

(AD là phân giác góc A)

(c.g.c)

(2 cạnh tương ứng)

Xét , ta có

Mà

.

Mặt khác

Do đó (đpcm)