THAcirc;N MẾN CHAgrave;O ĐOacute;N CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

• Cho lim┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗 =a vagrave; lim┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗 =bne;0, hatilde;y tiacute;nh

lim┬(nrarr;+infin;)⁡〖〖(u〗_n 〗.v_n);lim┬(nrarr;+infin;)⁡〖(u_n 〗+v_n); lim┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n/v_n 〗

• Necirc;u cocirc;ng thức tiacute;nh tổng cấp số nhacirc;n lugrave;i vocirc; hạn coacute; số hạng đầu lagrave; u_1 vagrave; cocirc;ng bội lagrave; q.

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN.

HAgrave;M SỐ LIEcirc;N TỤC

BAgrave;I 15: GIỚI HẠN CỦA DAtilde;Y SỐ

HỆ THỐNG
KIẾN THỨC

1. Giới hạn hữu hạn của datilde;y số

Ta noacute;i datilde;y số (u_n) coacute; giới hạn lagrave; 0 khi n dần tới dương vocirc; cực, nếu |u_n | coacute; thể nhỏ hơn một số dương beacute; tugrave;y yacute;, kể từ một số hạng nagrave;o đoacute; trở đi, kiacute; hiệu 〖lim_(xrarr;+infin;)〗⁡〖u_n=〗 0 hay u_nrarr;0 khi nrarr;+infin;.

Viacute; dụ: Datilde;y số coacute; giới hạn lagrave; 0 lagrave; datilde;y

u_n=1/n;u_n=1/n^2 .

Chuacute; yacute;

Từ định nghĩa datilde;y số coacute; giới hạn 0, ta coacute; kết quả như sau:

• lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖1/n^k =0〗 với k lagrave; một số nguyecirc;n dương.
• lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖q^n 〗=0 nếu |q|<1;
• Nếu |u_n |le;v_n với mọi nge;1 vagrave; lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=0 thigrave; lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=0.

1. Giới hạn hữu hạn của datilde;y số

Ta noacute;i datilde;y số (u_n) coacute; giới hạn lagrave; số thực a khi n dần tới dương vocirc; cực nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖(u_n-a)〗=0, kiacute; hiệu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=a hay u_nrarr;a khi nrarr;+infin;.

"Viacute; dụ:" (lim)┬(nrarr;+infin;) (2n+1)/3n=2/3

Chuacute; yacute;: Nếu u_n=c (hằng số) thigrave; lim┬(nrarr;+infin;) u_n=c.

2. Định liacute; về giới hạn hữu hạn của datilde;y số
3. a) Nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=a vagrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=b thigrave;

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖(u_n+v_n)〗=a+b

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖(u_n-v_n)〗=a-b

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖(u_n.v_n)〗=a.b

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡(u_n/v_n )=a/b " "("nếu" bne;0)

1. b) Nếu u_nge;0 với mọi n vagrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=a thigrave;

age;0 vagrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡radic;(u_n )=radic;a

3. Tổng của cấp số nhacirc;n lugrave;i vocirc; hạn

Cấp số nhacirc;n vocirc; hạn (u_n) coacute; cocirc;ng bội q với |q|<1 được gọi lagrave; cấp số nhacirc;n lugrave;i vocirc; hạn

S=u_1+u_2+hellip;+u_n+hellip;=u_1/(1-q) □( )(|q|<1)

"Viacute; dụ: Xeacute;t tổng" S= 1/2+(-1/4)+1/8+hellip;+(-1)^(n+1)/(2^n )+hellip;

"Tổng trecirc;n lagrave; tổng của một cấp số nhacirc;n lugrave;i vocirc; hạn với" u_1=1/2;q=-1/2

"Vậy" S=u_1/(1-q)=1/3.

4. Giới hạn vocirc; cực của datilde;y số

• Datilde;y số (u_n) được gọi lagrave; coacute; giới hạn +infin; khi nrarr;+infin; nếu u_n coacute; thể lớn hơn một số dương bất kigrave;, kể từ một số hạng nagrave;o đoacute; trở đi, kiacute; hiệu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=+infin; hay u_nrarr; +infin; khi nrarr;+infin;.
• Datilde;y số (u_n) được gọi lagrave; coacute; giới hạn -infin; khi nrarr;+infin; nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖(-u_n)〗=+infin;, kiacute; hiệu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=-infin; hay u_nrarr;-infin; khi nrarr;+infin;.

Oslash;Theo định nghĩa trecirc;n ta coacute;:

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖n^k 〗=+infin;, với k lagrave; số nguyecirc;n dương.

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖q^n 〗, với q>1.

Quy tắc

• Nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=a vagrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=+infin;

" (hoặc" (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=-infin;") thigrave;" (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n/v_n 〗=0

• Nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=a>0, (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=0 vagrave; v_n>0 với mọi n thigrave;

(lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n/v_n 〗=+infin;

• Nếu (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=+infin; vagrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=a>0 thigrave; (lim)┬(nrarr;+infin;)⁡〖u_n v_n 〗=+infin;.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Dugrave;ng định nghĩa chứng minh giới hạn của datilde;y số

Phương phaacute;p giải:

• Chứng minh datilde;y số giới hạn bằng 0 bằng định nghĩa:

Ta noacute;i datilde;y số (u_n ) coacute; giới hạn lagrave; 0 khi n dần tới dương vocirc; cực, nếu |u_n | coacute; thể nhỏ hơn một số dương beacute; tuỳ yacute;, kể từ một số hạng nagrave;o đoacute; trở đi, kiacute; hiệu lim u_n=0 hay u_nrarr;0 khi nrarr;+infin;.

• Chuacute; yacute;: lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖1/n^k =0〗 với k lagrave; một số nguyecirc;n dương

lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖q^n 〗=0 nếu |q|<1

Nếu |u_n |le;v_n với mọi nge;1 vagrave; lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖v_n 〗=0 thigrave; lim┬(xrarr;+infin;)⁡〖u_n 〗=0

• Chứng minh datilde;y coacute; giới hạn hữu hạn bằng định nghĩa: ta chứng minh

lim⁡|u_n-L|=0

• Mở rộng: Định liacute; kẹp

Định liacute;: Cho ba datilde;y số (u_n ),(v_n ) vagrave; (w_n ). Nếu u_nle;v_nle;w_n,(forall;n) vagrave; lim⁡〖u_n 〗=lim⁡〖w_n 〗=a,(aisin;R) thigrave; lim⁡〖v_n 〗=a.

Bagrave;i 1. Chứng minh caacute;c datilde;y số (u_n ) sau đacirc;y coacute; giới hạn lagrave; 0.

"a) " u_n=(-1)^n/(4n+5) " b) " u_n=(cos⁡4 n)/(n+3) " c) " u_n=(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3) " d)" u_n=(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1)

Giải:

1. a) Với mỗi số dương epsilon; tugrave;y yacute;, cho trước, ta coacute;

|u_n |=|(-1)^n/(4n+5)|=1/(4n+5)<epsilon;hArr;4n+5>1/epsilon;hArr;n>1/4 (1/epsilon;-5)

"Với mỗi số dương cho trước, thigrave; với mọi số tự nhiecirc;n" n>1/4 (1/epsilon;-5) "ta đều coacute;" |u_n |<epsilon;

Vậy lim⁡〖u_n 〗=0.

1. b) Ta coacute; forall;nisin;N^lowast; thigrave; |cos⁡4 n|le;1

rArr;|u_n |=|(cos⁡4 n)/(n+3)|le;|1/(n+3)|le;|1/n|=1/n

"Aacute;p dụng: ldquo;Nếu " k" lagrave; một số thực dương cho trước thigrave; " lim⁡〖1/n^k 〗=0"rdquo; ta được" lim⁡〖1/n〗=0

Từ đoacute; suy ra lim⁡〖u_n 〗=0.

1. c) Ta coacute; forall;nisin;N^lowast; thigrave; |cos⁡〖n^3 〗 |le;1

rArr;|u_n |=|(1+cos⁡〖n^3 〗)/(2n+3)|le;|2/(2n+3)|le;|2/2n|=1/n

"Aacute;p dụng ldquo;Nếu " k" lagrave; một số thực dương cho trước thigrave; " lim⁡〖1/n^k 〗=0"rdquo; ta được" lim⁡〖1/n〗=0

Từ đoacute; suy ra lim⁡〖u_n 〗=0.

1. d) Ta coacute;

|u_n |=|(-1)^n/2^(n+1) -1/3^(n+1) |le;1/2^(n+1) +1/3^(n+1) <1/2^(n+1) +1/2^(n+1) =1/2^n ,forall;nisin;N

"Vigrave;" lim⁡〖1/2^n 〗=〖lim⁡(1/2)〗^n=0

Từ đoacute; suy ra lim⁡〖u_n 〗=0.

"Bagrave;i 2. Chứng minh: a)" u_n=(2n+3)/(4n+5)=1/2

...