CHAgrave;O MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

Thế nagrave;o lagrave; goacute;c giữa đường thẳng a vagrave; mặt phẳng (P) trong khocirc;ng gian?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ

VUOcirc;NG GOacute;C TRONG KHOcirc;NG GIAN

BAgrave;I 24: PHEacute;P CHIẾU VUOcirc;NG GOacute;C. GOacute;C GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VAgrave;

MẶT PHẲNG

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Pheacute;p chiếu vuocirc;ng goacute;c

Pheacute;p chiếu song song lecirc;n mặt phẳng (P) theo phương Delta; vuocirc;ng goacute;c với (P) được gọi lagrave; pheacute;p chiếu vuocirc;ng goacute;c lecirc;n mặt phẳng (P).

Chuacute; yacute;:

Pheacute;p chiếu vuocirc;ng goacute;c lecirc;n một mặt phẳng coacute; mọi tiacute;nh chất của pheacute;p chiếu song song.

Pheacute;p chiếu vuocirc;ng goacute;c lecirc;n mặt phẳng (P) cograve;n được gọi đơn giản lagrave; pheacute;p chiếu lecirc;n mặt phẳng (P). Higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của ℋ, kiacute; hiệu ℋ^prime;.

Định liacute; ba đường vuocirc;ng goacute;c

Cho đường thẳng a vagrave; mặt phẳng (P) khocirc;ng vuocirc;ng goacute;c với nhau. Khi đoacute;, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuocirc;ng goacute;c với đường thẳng a khi vagrave; chỉ khi b vuocirc;ng goacute;c với higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c aprime; của a trecirc;n (P).

2. Goacute;c giữa đường thẳng vagrave; mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuocirc;ng goacute;c với mặt phẳng (P) thigrave; ta noacute;i rằng goacute;c giữa đường thẳng a vagrave; mặt phằng (P) bằng 90^∘.

Nếu đường thẳng a khocirc;ng vuocirc;ng goacute;c với mặt phẳng (P) thigrave; goacute;c giữa a vagrave; higrave;nh chiếu a^prime; của noacute; trecirc;n (P) được gọi lagrave; goacute;c giữa đường thẳng a vagrave; mặt phẳng (P).

Chuacute; yacute;. Nếu alpha; lagrave; goacute;c giữa đường thẳng a vagrave; mặt phẳng (P) thigrave; 0le;alpha;le;90^∘.

Nhận xeacute;t. Cho điểm A coacute; higrave;nh chiếu H trecirc;n mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O khocirc;ng trugrave;ng H. Khi đoacute; goacute;c giữa đường thẳng AO vagrave; mặt phẳng (P) bằng goacute;c AOH.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Bagrave;i toaacute;n xaacute;c định higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của điểm trecirc;n mặt phẳng. Bagrave;i toaacute;n sử dụng định liacute; ba đường vuocirc;ng goacute;c

Bagrave;i 1. Cho tứ diện ABCD coacute; ba cạnh AB,AC, AD đocirc;i một vuocirc;ng goacute;c.

1. a) Chứng minh higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của đỉnh A lecirc;n mặt phẳng (BCD) trugrave;ng với trực tacirc;m của tam giaacute;c BCD.
2. b) Chứng minh rằng 1/AH^2=1/AB^2+1/AC^2+1/AD^2.
3. c) Chứng minh rằng tam giaacute;c BCD coacute; 3 goacute;c nhọn.

Giải

1. a) Gọi H lagrave; higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của điểm A trecirc;n mặt phẳng (BCD) thigrave; AHperp;(BCD)

Ta coacute;: {■(ADperp;AB@ADperp;AC)rArr;ADperp;(ABC)rArr;ADperp;BC┤

Mặt khaacute;c AHperp;BCrArr;BCperp;(ADH)rArr;BCperp;DH

Tương tự chứng minh trecirc;n ta coacute;: BHperp;CD

Do đoacute; H lagrave; trực tacirc;m của tam giaacute;c BCD.

1. b) Gọi E=DHcap;BC, do BCperp;(ADH)

rArr;BCperp;AE

Xeacute;t △ABC vuocirc;ng tại A coacute; đường cao AE ta coacute;:

1/AE^2=1/AB^2+1/AC^2

Lại coacute;:

1/AH^2=1/AD^2+1/AE^2=1/AB^2+1/AC^2+1/AD^2(đpcm)

Ta coacute;: {■(BC=radic;x^2+y^2@BD=radic;x^2+z^2@CD=radic;y^2+z^2)┤

Khi đoacute; cosB=BC^2+BD^2minus;CD^2/2.BC.BD=x^2/BC.BD>0

rArr;(CBD) ̂<90^∘

Tương tự chứng minh trecirc;n ta cũng coacute; {■((BDC) ̂<90^∘@(BCD) ̂<90^∘)rArr;┤ tam giaacute;c BCD coacute; 3 goacute;c nhọn.

Bagrave;i 2. Cho higrave;nh choacute;p S.ABC coacute; đaacute;y ABC lagrave; tam giaacute;c đều cạnh a tacirc;m O, caacute;c cạnh becirc;n bằng nhau;SO=2a. Gọi M lagrave; điểm thuộc đoạn AO(Mne;A;Mne;O). Mặt phẳng (alpha;) đi qua M vagrave; vuocirc;ng goacute;c với AO. Đặt AM=x.

1. a) Xaacute;c định higrave;nh chiếu của S lecirc;n mặt phẳng (ABC).
2. b) Tiacute;nh diện tiacute;ch của higrave;nh tạo bởi caacute;c giao tuyến của mặt phẳng (alpha;) với caacute;c mặt phẳng (SAB), (ABC), (SAC).

Giải

1. a) Gọi Oprime; lagrave; higrave;nh chiếu vuocirc;ng goacute;c của S lecirc;n mặt phẳng (ABC), tức lagrave; SOprime;perp;(ABC)

Khi đoacute; ta coacute; Delta;SOprime;A=Delta;SOprime;B=Delta;SOprime;C

rArr;Oprime;A=Oprime;B=Oprime;C

Magrave; tam giaacute;c ABC đều coacute; tacirc;m O.

Suy ra Oequiv;Oprime;, hay higrave;nh chiếu của S lecirc;n mặt phẳng (ABC) lagrave; điểm O.

1. b) SOperp;(ABC)

Do đoacute; SOperp;AA^prime; magrave; (alpha;)perp;AA^prime; suy ra SO//(alpha;)

Tương tự ta cũng coacute; BC//(alpha;).

Qua M kẻ IJ//BC với Iisin;AB,Jisin;AC

Kẻ MK//SO với Kisin;SA

Suy ra higrave;nh tạo bởi caacute;c giao tuyến lagrave; tam giaacute;c KIJ

Diện tiacute;ch tam giaacute;c IJK lagrave;

S_Delta;JJK=1/2IJ.MK

Trong tam giaacute;c ABC, ta coacute;

IJ/BC=2/3rArr;IJ=2xradic;3/3

Tương tự trong tam giaacute;c SAO, ta coacute; MK/SO=AM/AO

Suy ra MK=AMsdot;SO/AO=2xradic;3

Vậy S_Delta;JK=1/2sdot;2xradic;3/3sdot;2xradic;3=2x^2.

Bagrave;i 3. Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y lagrave; higrave;nh vuocirc;ng cạnh a, cạnh becirc;n SA vuocirc;ng goacute;c với mặt phẳng (ABCD) vagrave; SA= a.

1. a) Gọi D_1 lagrave; trung điểm của SD. Chứng minh rằng AD_1perp;(SCD).
2. b) Gọi O lagrave; tacirc;m của higrave;nh vuocirc;ng ABCD, M lagrave; điểm thay đổi trecirc;n SD. Chứng minh rằng higrave;nh chiếu của điểm O trecirc;n CM thuộc đường trograve;n cố định.

...