CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM HỌC SINH

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

• Hatilde;y necirc;u caacute;c cocirc;ng thức lượng giaacute;c của goacute;c nhacirc;n đocirc;i sin⁡〖2a, 〗 cos⁡〖2a, 〗 tan⁡〖2a.〗
• Hatilde;y necirc;u tập nghiệm của phương trigrave;nh tan⁡〖x=a〗? Cần điều kiện gigrave; để phương trigrave;nh coacute; nghiệm?

CHƯƠNG I:

HAgrave;M SỐ LƯỢNG GIAacute;C VAgrave;

PHƯƠNG TRIgrave;NH LƯỢNG GIAacute;C

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG I

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1. Giải phương trigrave;nh

"a)" cot⁡(4x-pi;/6)=radic;3

hArr;cot⁡(4x-pi;/6)=cot⁡〖pi;/6〗

hArr;4x-pi;/6=pi;/6+kpi;,kisin;Z

hArr;4x=pi;/3+kpi;,kisin;Z

hArr;x=pi;/12+k pi;/4,kisin;Z

"b) " (cot⁡x/3-1)(cot⁡x/2+1)=0

"Điều kiện: " sin⁡〖x/3〗ne;0" vagrave;" sin⁡x/2ne;0

hArr;[■(cot⁡x/3-1=0@cot⁡x/2+1=0)hArr;[■(cot⁡x/3=1@cot⁡x/2=-1)rArr;[■(x=3pi;/4+k3pi;,kisin;Z@x/3=pi;/4+kpi;,kisin;Z@x/2=-pi;/4+kpi;,kisin;Z)┤ ┤┤

rArr;[■(x=3pi;/4+k3pi;,kisin;Z@@x=-pi;/2+k2pi;,kisin;Z)┤ (TM)

"c) " cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=frac12;

hArr;cos⁡(2x+〖50〗^∘ )=cos⁡〖60〗^∘

hArr;2x+〖50〗^∘=plusmn;〖60〗^∘+k〖360〗^∘,kisin;Z

hArr;[■(2x=-〖50〗^∘+〖60〗^∘+k〖360〗^∘,kisin;Z@2x=-〖50〗^∘-〖60〗^∘+k〖360〗^∘,kisin;Z)┤

hArr;[■(x=5^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z@x=-〖55〗^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z)┤

"d) "(1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0

hArr;[■(1+2cos⁡x=0@3-cos⁡x=0)┤

hArr;[■(cos⁡x=-1/2@cos⁡x=3 (L))┤

rArr;x=plusmn;2pi;/3+k2pi;,kisin;Z

Bagrave;i 2. Giải phương trigrave;nh

1. a) sin⁡2xcot⁡x=0; b) tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0;

Giải:

1. a) Điều kiện của phương trigrave;nh lagrave; sin⁡xne;0

Ta biến đổi phương trigrave;nh đatilde; cho

hArr;2 sin⁡〖x cos⁡x 〗sdot;cos⁡x/sin⁡x =0hArr;2cos^2⁡x=0hArr;cos⁡x=0rArr;x=pi;/2+kpi;,kisin;Z

Caacute;c giaacute; trị nagrave;y thoả matilde;n điều kiện của phương trigrave;nh

"Vậy nghiệm của phương trigrave;nh lagrave;" x=pi;/2+kpi;,kisin;Z

Giải:

1. b) Điều kiện của phương trigrave;nh tan⁡(x-〖30〗^∘ )cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0 lagrave; cos⁡(x-〖30〗^∘ )ne;0

"Ta biến đổi phương trigrave;nh đatilde; cho" hArr;(sin⁡(x-〖30〗^∘ ))/(cos⁡(x-〖30〗^∘ ) )sdot;cos⁡(2x-〖150〗^∘ )=0

hArr;[■(sin⁡(x-30^∘)=0@cos⁡(2x-150^∘)=0)rArr;[■(x-〖30〗^∘=k〖180〗^∘,kisin;Z@2x-〖150〗^∘=plusmn;〖90〗^∘+k〖360〗^∘,kisin;Z)┤┤rArr;[■(x=30^∘+k180^∘,kisin;Z@2x=240^∘+k360^∘,kisin;Z@2x=60^∘+k360^∘,kisin;Z)rArr;[■(x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z@x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z@x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z.)┤┤

Khi thay vagrave;o điều kiện cos⁡(x-〖30〗^∘ )ne;0, ta thấy giaacute; trị x=〖120〗^∘+k〖180〗^∘ khocirc;ng thoả matilde;n, cograve;n giaacute; trị x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘ thoả matilde;n

Vậy nghiệm của phương trigrave;nh đatilde; cho lagrave; x=〖30〗^∘+k〖180〗^∘,kisin;Z.

Bagrave;i 3. Chứng minh biểu thức sau lagrave; một hằng số

y=radic;(sin^4⁡x+4cos^2⁡x)-radic;(cos^4⁡x+4sin^2⁡x)-cos⁡2x

Giải:

y=radic;(sin^4⁡x+4(1-sin^2⁡x ) )-radic;(cos^4⁡x+4(1-cos^2⁡x ) )-cos⁡2 x

=radic;((sin^2⁡x-2)^2 )-radic;((cos^2⁡x-2)^2 )-co s⁡2 x

=|sin^2⁡x-2|-|cos^2⁡x-2|-cos⁡2 x

=2-sin^2⁡x-(2-cos^2⁡x )-cos⁡2 x

=cos^2⁡x-sin^2⁡x-cos⁡2 x=0

Bagrave;i 4. Chứng minh biểu thức sau khocirc;ng chứa x:

y=1/(cos^6⁡x)-tan^6⁡x-(3tan^2⁡x)/(cos^2⁡x)

Giải:

y =(1-sin^6⁡x)/cos^6⁡x -(3 sin^2⁡x)/cos^4⁡x =(1-sin^6⁡x-3 sin^2⁡x cos^2⁡x)/cos^6⁡x

=((1-sin^2⁡x )(1+sin^2⁡x+sin^4⁡x )-3 sin^2⁡x cos^2⁡x)/cos^6⁡x

=cos^2⁡x/cos^6⁡x (1+sin^4⁡x-2 sin^2⁡x )=(1-sin^2⁡x )^2/cos^4⁡x =1

Bagrave;i 5. Tiacute;nh caacute;c biểu thức sau khocirc;ng sử dụng maacute;y tiacute;nh cầm tay

"a)" sin^4⁡pi;/16+sin^4⁡3pi;/16+sin^4⁡5pi;/16+sin^4⁡7pi;/16

=((1-cos⁡pi;/8)/2)^2+((1-cos⁡3pi;/8)/2)^2+((1-cos⁡5pi;/8)/2)^2+((1-cos⁡7pi;/8)/2)^2

=1/4 (1-2 cos⁡〖pi;/8〗+cos^2⁡〖pi;/8〗+1-2 cos⁡〖3pi;/8〗+cos^2⁡〖3pi;/8〗+1-2 cos⁡〖5pi;/8〗+cos^2⁡〖5pi;/8〗+1-2 cos⁡〖7pi;/8+cos^2⁡〖7pi;/8〗 〗 ┤

=1-1/2 (cos⁡〖pi;/8〗+cos⁡〖3pi;/8〗+cos⁡〖5pi;/8〗+cos⁡〖7pi;/8〗 ) +1/4 ((1+cos⁡pi;/4)/2+(1+cos⁡3pi;/4)/2+(1+cos⁡5pi;/4)/2+(1+cos⁡7pi;/4)/2)

=1-1/2 (cos⁡pi;/8+cos⁡3pi;/8-cos⁡3pi;/8-cos⁡pi;/8)+1/8 (4+radic;2/2-radic;2/2-radic;2/2+radic;2/2)=3/2

"b) " cot⁡7,5^∘+tan⁡67,5^∘-tan⁡7,5^∘-cot⁡67,5^∘

=(cos⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ )-(sin⁡7,5^∘)/(cos⁡7,5^∘ )+(sin⁡67,5^∘)/(cos⁡67,5^∘ )-(cos⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ )=(2sin⁡(〖135〗^∘-〖15〗^∘ ))/(sin⁡(〖45〗^∘-〖30〗^∘ )sin⁡(〖180〗^∘-〖45〗^∘ ) )

=(cos^2⁡7,5^∘-sin^2⁡7,5^∘)/(sin⁡7,5^∘ cos⁡7,5^∘ )+(sin^2⁡〖67.5〗^∘-cos^2⁡67,5^∘)/(sin⁡67,5^∘ cos⁡67,5^∘ )=(2sin⁡〖120〗^∘)/((sin⁡〖45〗^∘ cos⁡〖30〗^∘-cos⁡〖45〗^∘ sin⁡〖30〗^∘ )sin⁡〖45〗^∘ )

=(cos⁡〖15〗^∘)/(1/2 sin⁡〖15〗^∘ )-cos⁡〖〖135〗^∘ 〗/(1/2 sin⁡〖〖135〗^∘ 〗 )=2(sin⁡〖135〗^∘ cos⁡〖15〗^∘-cos⁡〖135〗^∘ sin⁡〖15〗^∘ )/(sin⁡〖15〗^∘ sin⁡〖135〗^∘ )

=radic;3/(radic;2/2 (radic;3/2-1/2)sdot;radic;2/2)=(4radic;3)/(radic;3-1)=6+2radic;3

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

Bagrave;i 1. Ruacute;t gọn biểu thức

"a)" (sin^2⁡2alpha;+4sin^4⁡alpha;-4sin^2⁡alpha;cos^2⁡alpha;)/(4-sin^2⁡2alpha;-4sin^2⁡alpha;)

=(sin^2⁡2alpha;+4sin^4⁡alpha;-sin^2⁡2alpha;)/(4cos^2⁡alpha;-4sin^2⁡alpha;cos^2⁡alpha;)

=(4sin^4⁡alpha;)/(4cos^2⁡alpha;(1-sin^2⁡alpha;) )

=tan^4⁡alpha;

1. b) 3-4 cos⁡2a+cos⁡4a

=3-4(1-2sin^2⁡a)+(1-2sin^2⁡2a)
=8 sin^2⁡a-8 sin^2⁡〖a cos^2⁡a 〗

=8sin^2⁡a(1-cos^2⁡a) =8sin^4⁡a

1. c) cos⁡4a-sin⁡4acot⁡2a

=2 cos^2⁡2 a-1-2 sin⁡2a cos⁡2a cos⁡2a/sin⁡2a

=-1

"d)" (cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡2atan⁡a)

=((cos⁡a)/(sin⁡a)+(sin⁡a)/(cos⁡a))/(1+(sin⁡2asin⁡a)/(cos⁡2acos⁡a))

=1/(sin⁡acos⁡a)sdot;(cos⁡acos⁡2a)/(cos⁡2acos⁡a+sin⁡2asin⁡a)

=(1-sin⁡(a+pi;/4))/(sin⁡(a-pi;/4) )=(sin⁡pi;/2-sin⁡(a+pi;/4))/(sin⁡(a-pi;/4) )

=2/(sin⁡2a)sdot;(cos⁡acos⁡2a)/(cos⁡(2a-a))=2cot⁡2a

Bagrave;i 2. Khocirc;ng dugrave;ng maacute;y tiacute;nh cầm tay hatilde;y tiacute;nh

1. a) cos⁡〖〖67〗^∘ 〖30〗^prime; 〗

=cos⁡〖135〗^∘/2=radic;((1+cos⁡〖135〗^∘)/2)=radic;((1-radic;2/2)/2)=radic;(2-radic;2) /2

cos⁡〖〖75〗^o 〗

=cos⁡(〖45〗^∘+〖30〗^∘ )=radic;2/4(radic;3-1)

"b)" (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ )

Giải:

cot⁡〖30〗^∘=1/(tan⁡〖2.15〗^∘ )=(1-tan^2⁡〖15〗^∘)/(2tan⁡〖15〗^∘ )=(cot^2⁡〖15〗^∘-1)/(2cot⁡〖15〗^∘ )

Đặt x=cot⁡〖15〗^∘ vagrave; chuacute; yacute; rằng cot⁡〖30〗^∘=radic;3 ta coacute;

radic;3=(x^2-1)/2xhArr;x^2-2radic;3 x-1=0

Giải phương trigrave;nh trecirc;n ta được x=2+radic;3 (nghiệm x=radic;3-2 loại vigrave; ├ cot⁡〖15〗^∘>0)

"Do đoacute;" (cot⁡〖15〗^∘+1)/(2cot⁡〖15〗^∘ )=(2+radic;3+1)/(2(2+radic;3))=(3+radic;3)/(2(2+radic;3))=(3-radic;3)/2.

"c) " tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖80〗^∘

=-tan⁡〖20〗^∘ tan⁡〖40〗^∘ tan⁡〖100〗^∘

=-tan⁡(〖60〗^o-〖40〗^o ) tan⁡〖〖40〗^o 〗 tan(〖60〗^o+〖40〗^o )

=-(tan⁡6 0^o-tan⁡4 0^o)/(1+tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o ) tan〖40〗^o ( tan⁡6 0^o+tan⁡4 0^o)/(1-tan⁡6 0^o.tan⁡4 0^o )

=-(3-〖tan〗^2⁡〖〖40〗^o 〗)/(1-3 〖tan〗^2⁡〖〖40〗^o 〗 ) tan〖40〗^o=-tan120^o=radic;3

("Coacute; thể chứng minh được" (tan⁡〖120〗^∘)/(tan⁡〖40〗^∘ )=(3-〖tan〗^2⁡〖40〗^∘)/(1-3〖tan〗^2⁡〖40〗^∘ ))

Bagrave;i 3. Cho higrave;nh thang cacirc;n ABCD coacute; đaacute;y nhỏ lagrave; AB sao cho AB = AD. Biết tan(BDC) ̂=3/4 ","

"tiacute;nh caacute;c giaacute; trị lượng giaacute;c của" (BAD.) ̂

Giải:

Ta coacute;: (ABD) ̂=(ADB) ̂; (ABD) ̂=(BDC) ̂; (BDC) ̂=(ADB) ̂

Suy ra (BAD) ̂=pi;-2(BDC) ̂

Từ đoacute; ta coacute; tan⁡(BAD) ̂ =-tan⁡〖2(BDC) ̂ 〗=-(2 tan⁡(BDC) ̂ )/(1-tan^2⁡(BDC) ̂ )=-(2sdot;3/4)/(1-9/16)=-3/2sdot;16/7=-24/7

Vigrave; pi;/2<(BAD) ̂<pi; necirc;n cos⁡(BAD) ̂<0. Do đoacute;

cos⁡(BAD) ̂=-1/radic;(1+tan^2⁡(BAD) ̂ )=-1/radic;(1+576/49)=-7/25

sin⁡(BAD) ̂=cos⁡(BAD) ̂tan⁡(BAD) ̂=(-7)/25sdot;(-24)/7=24/25.

Bagrave;i 4. Chứng minh rằng

"a)" (1-cos⁡2a+sin⁡2a)/(1+cos⁡2a+sin⁡2a)=tan⁡a

Giải:

(1-cos⁡2 a+sin⁡2 a)/(1+cos⁡2 a+sin⁡2 a)=(2 〖sin〗^2⁡a+2 sin⁡a cos⁡a)/(1+2 〖cos〗^2⁡a-1+2 sin⁡a cos⁡a )

=├ 2 sin⁡a (sin⁡a+cos⁡a )/├ 2 cos⁡a (sin⁡a+cos⁡a ) =tan⁡a

"b)" ( cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡〖2a tan⁡a 〗 )=2 cot⁡2a

Giải:

(cot⁡a+tan⁡a)/(1+tan⁡2atan⁡a)=(1/(tan⁡a)+tan⁡a)/(1+(2tan⁡a)/(1-〖tan〗^2⁡a) tan⁡a)

=(1+〖tan〗^2⁡a)/(tan⁡a):(1-〖tan〗^2⁡a+2〖tan〗^2⁡a)/(1-〖tan〗^2⁡a)

=(1-〖tan〗^2⁡a)/(tan⁡a)=2cot⁡2a

"c) " (radic;2-sin⁡a-cos⁡a)/(sin⁡a-cos⁡a )=-tan⁡(a/2-pi;/8)

Giải:

(radic;2-sin⁡a-cos⁡a)/(sin⁡a-cos⁡a)=(radic;2-radic;2 sin⁡(a+pi;/4))/(radic;2 sin⁡(a-pi;/4) )=(1-sin⁡(a+pi;/4))/(sin⁡(a-pi;/4) )=(sin⁡pi;/2-sin⁡(a+pi;/4))/(sin⁡(a-pi;/4) )

=(2cos⁡(a/2+3pi;/8)sin⁡(pi;/8-a/2))/(2sin⁡(a/2-pi;/8)cos⁡(a/2-pi;/8) )=(sin⁡(-a/2+pi;/8)sin⁡(pi;/8-a/2))/(sin⁡(a/2-pi;/8)cos⁡(a/2-pi;/8) )=(-sin⁡(a/2-pi;/8))/(cos⁡(a/2-pi;/8) )=-tan⁡(a/2-pi;/8)

"d) " cos⁡2a-cos⁡3a-cos⁡4a+cos⁡5a=-4 sin⁡〖a/2 sin⁡〖a cos⁡〖7a/2〗 〗 〗

Giải:

cos⁡2a-cos⁡3a-cos⁡4a+cos⁡5a

=(cos⁡2a-cos⁡4a)+(cos⁡5a-cos⁡3a)

=-2 sin⁡〖3a sin⁡(-a) 〗-2 sin⁡〖4a sin⁡a 〗

=2sin⁡a(sin⁡3a-sin⁡4a)

=4 sin⁡〖a cos⁡〖7a/2 sin⁡(-a/2) 〗 〗

=-4sin⁡a/2 sin⁡acos⁡7a/2

Bagrave;i 5. Ruacute;t gọn

...