CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC MOcirc;N TOAacute;N!

KHỞI ĐỘNG

Thế nagrave;o lagrave; goacute;c giữa hai đường thẳng m, n trong khocirc;ng gian? Số đo goacute;c giữa hai đường thẳng trong khocirc;ng gian thuộc khoảng giaacute; trị nagrave;o?

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUOcirc;NG GOacute;C TRONG KHOcirc;NG GIAN

BAgrave;I 22: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUOcirc;NG GOacute;C

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Goacute;c giữa hai đường thẳng

Goacute;c giữa hai đường thẳng m vagrave; n trong khocirc;ng gian, kiacute; hiệu (m,n), lagrave; goacute;c giữa hai đường thẳng a vagrave; b cugrave;ng đi qua một điểm vagrave; tương ứng song song với m vagrave; n.

Chuacute; yacute;:

Để xaacute;c định goacute;c giữa hai đường thẳng cheacute;o nhau a vagrave; b, ta coacute; thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a vagrave; qua đoacute; kẻ đường thẳng b^prime; song song với b. Khi đoacute; (a,b)=(a,b^prime;).

Với hai đường thẳng a,b bất kigrave;: 0^∘le;(a,b)le;90^∘.

2. Hai đường thẳng vuocirc;ng goacute;c

Hai đường thẳng a,b được gọi lagrave; vuocirc;ng goacute;c với nhau, kiacute; hiệu aperp;b, nếu goacute;c giữa chuacute;ng bằng 90^∘.

Viacute; dụ: Higrave;nh hộp ABCD.Aprime;Bprime;Cprime;Dprime; coacute; caacute;c mặt lagrave; higrave;nh vuocirc;ng.

(AA^prime;;BC)=90^o;

(AA^prime;;DC^prime;)=(DD;DC^prime;)=45^o

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tiacute;nh goacute;c giữa hai đường thẳng

Phương phaacute;p giải:

Tigrave;m goacute;c giữa hai đường thẳng d_1, d_2 bằng caacute;ch chọn một điểm O thiacute;ch hợp (O coacute; thể nằm trecirc;n một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng caacute;c đường thẳng d_1prime;, d_2prime; lần lượt song song với d_1 vagrave; d_2. Goacute;c giữa hai đường thẳng d_1, d_2 chiacute;nh lagrave; goacute;c giữa hai đường thẳng d_1prime;, d_2prime; .

Lưu yacute;: Để tiacute;nh goacute;c nagrave;y ta thường sử dụng định liacute; cocirc;sin trong tam giaacute;c

Bagrave;i 1. Cho tứ diện ABCD coacute; AB=CD=a, IJ=aradic;3/2 (I, J lần lượt lagrave; trung điểm

của BC vagrave; AD). Tiacute;nh số đo goacute;c giữa hai đường thẳng AB vagrave; CD.

Giải:

Gọi M, N lần lượt lagrave; trung điểm AC, BC

Ta coacute;:

{█(MI=NI=MJ=NJ=1/2AB=1/2CD=a/2@AB // NJ // MI, CD // NI // MJ)┤

rArr; lagrave; higrave;nh thoi

Gọi O lagrave; giao điểm của MN vagrave; IJ

Ta coacute;: (MIN) ̂=2(MIO) ̂

Xeacute;t Delta;MIO vuocirc;ng tại O, ta coacute;:

cos(MIO) ̂=IO/MI=aradic;3/4/a/2=radic;3/2

rArr;(MIO) ̂=30deg;rArr;(MIN) ̂=60deg;

Magrave;: (AB,CD)=(IM,IN)=(MIN) ̂=60deg;.

Bagrave;i 2. Cho tứ diện ABCD coacute; AB=CD. Gọi I,J,E,F lần lượt lagrave; trung điểm của AC,BC,BD,AD. Tiacute;nh goacute;c (IE, JF)

Giải:

Mặt khaacute;c {█(IJ=1/2AB@JE=1/2CD)┤

magrave; AB=CD necirc;n IJ=JE

Do đoacute; IJEF lagrave; higrave;nh thoi

Suy ra (IE, JF)=90^0.

Bagrave;i 3. Cho higrave;nh lập phương ABCD.A_1B_1C_1D_1. Tiacute;nh số đo giữa hai đường thẳng AC vagrave; DA_1.

Giải:

Vigrave; Aprime;Cprime;//AC necirc;n goacute;c giữa AC vagrave; DA_1 lagrave; (DA_1C_1) ̂.

Vigrave; tam giaacute;c DA_1C_1 đều necirc;n (DA_1C_1) ̂=60^0

Vậy goacute;c giữa AC vagrave; DA_1 bằng 60^0.

Bagrave;i 4. Cho higrave;nh lập phương ABCD.EFGH. Hatilde;y tiacute;nh số đo goacute;c giữa hai đường thẳng AF vagrave; EG.

Giải:

Đặt cạnh của higrave;nh lập phương trecirc;n lagrave; a

Gọi I lagrave; giao trung điểm EG

Qua A kẻ đường thẳng d//FI

Qua I kẻ đường thẳng d^prime;//FA

Suy ra d cắt d^prime; tại J.

Từ đoacute; suy ra ((EG,AF) ̂)=(EIJ) ̂=alpha;

IJ=AF=2EI=2FI=2AJ=aradic;2

EJ^2=AE^2+AJ^2=3/2

cosalpha;=|EI^2+IJ^2+AJ^2/2.EI.EJ|=1/2rArr;alpha;=60deg;

Bagrave;i 5. Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi M lagrave; trung điểm CD, alpha; lagrave; goacute;c giữa AC vagrave; BM. Tiacute;nh cosalpha;.

Giải:

Gọi O lagrave; trọng tacirc;m của Delta;BCD rArr;AOperp;(BCD)

Trecirc;n đường thẳng d qua C vagrave; song song BM lấy điểm N sao cho BMCN lagrave; higrave;nh chữ nhật

Từ đoacute; suy ra: ((AC,BM) ̂)=((AC,CN) ̂)=((ACN) ̂)=alpha;

Coacute;:

CN=BM=radic;3/2a vagrave; BN=CN=a/2

AO^2=AB^2minus;BO^2=AB^2minus;(2/3BM)^2=2/3a^2

ON^2=BN^2+BO^2=7/12a^2

AN=radic;AO^2+ON^2=radic;5/2a

rArr;cosalpha;=AC^2+CN^2minus;AN^2/2AC.CN=radic;3/6

Bagrave;i 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt lagrave; trung điểm caacute;c cạnh BC vagrave; AD. Cho biết AB=CD=2a vagrave; MN=aradic;3. Tiacute;nh goacute;c giữa hai đường thẳng AB vagrave; CD.

Giải:

{█(OM∥AB@ON∥CD)┤rArr;((AB,CD)) ̂=((OM,ON)) ̂

Aacute;p dụng định liacute; cocirc;sin cho tam giaacute;c OMN ta coacute;

cos(MON) ̂=OM^2+ON^2minus;MN^2/2OM.ON=a^2+a^2minus;(aradic;3)^2/2.a.a=minus;1/2

Vậy ((AB,CD)) ̂=60^0.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng vuocirc;ng goacute;c vagrave; caacute;c bagrave;i toaacute;n liecirc;n quan

...