CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM

ĐAtilde; ĐẾN VỚI TIẾT HỌC!

CHƯƠNG VII. QUAN HỆ VUOcirc;NG GOacute;C TRONG KHOcirc;NG GIAN

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG VII

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1.

Cho higrave;nh lập phương ABCD.EFGH. Hatilde;y xaacute;c định goacute;c giữa hai đường thẳng AB vagrave; EG.

Giải

Ta coacute;: EG//AC (do ACGE lagrave; higrave;nh chữ nhật)

rArr;(AB,EG)=(AB,AC)=(BAC) ̂=45deg;

Bagrave;i 2.

Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh thoi tacirc;m O vagrave; coacute; SA=SC,SB=SD.

1. a) Chứng minh rằng SOperp;(ABCD).
2. b) Gọi I,K lần lượt lagrave; trung điểm của BA vagrave; BC. Chứng minh rằng IKperp;(SBD) vagrave; IKperp;SD.

Giải

1. a) Do SA=ACrArr;△SAC cacirc;n tại S coacute; trung tuyến SO đồng thời lagrave; đường cao suy ra SOperp;AC.

Tương tự ta coacute;: SOperp;BDrArr;SOperp;(ABCD).

1. b) Do ABCD lagrave; higrave;nh thoi necirc;n ACperp;BD

Mặt khaacute;c SOperp;(ABCD)rArr;ACperp;SO

Do vậy ACperp;(SBD)

IK lagrave; đường trung bigrave;nh trong tam giaacute;c BAC necirc;n IK//AC magrave; ACperp;(SBD)rArr;IKperp;(SBD).

Bagrave;i 3.

Higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh vuocirc;ng tacirc;m O, cạnh a,SOperp;(ABCD),SO=aradic;6/2. Mặt phẳng (P) đi qua A vagrave; vuocirc;ng goacute;c với SC. Xaacute;c định vagrave; tiacute;nh diện tiacute;ch higrave;nh tạo bởi caacute;c giao tuyến của mặt phẳng (P) với caacute;c mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAD), (SAB).

Giải

Kẻ ANperp;SC(Nisin;SC) vagrave; ANcap;SO=I

Ta coacute; BDperp;(SAC)rArr;BDperp;SC, qua I kẻ đường thẳng d song song với BD cắt SB,SC lần lượt tại M,P

Suy ra higrave;nh tạo bởi caacute;c giao tuyến lagrave; tứ giaacute;c AMNP

Tam giaacute;c SAO coacute; SA=radic;SO^2+OA^2=aradic;2=AC

rArr; Tam giaacute;c SAC đều rArr;N lagrave; trung điểm của SC

rArr;I lagrave; trọng tacirc;m tam giaacute;c SAC rArr;MP/BD=SI/SO=2/3rArr;MP=2aradic;2/3

Vậy diện tiacute;ch tứ giaacute;c AMNP lagrave; S_AMNP=1/2MPsdot;AN=1/2sdot;2aradic;2/3sdot;aradic;6/2=a^2radic;3/3.

Bagrave;i 4.

Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD, coacute; đaacute;y lagrave; nửa lục giaacute;c đều cạnh a,AD=2a. Biết SAperp;(ABCD) vagrave; đường thẳng SB tạo với đaacute;y một goacute;c 45^∘.

1. a) Tiacute;nh cosin goacute;c tạo bởi caacute;c cạnh SC,SD vagrave; mặt đaacute;y (ABCD).
2. b) Gọi I lagrave; trung điểm của CD, tiacute;nh tan goacute;c tạo bởi SI vagrave; mặt phẳng (ABCD).

Giải

1. a) Gọi O lagrave; trung điểm của AD

rArr;OABC lagrave; higrave;nh thoi cạnh arArr;CO=a=1/2AD

rArr;△ACD vuocirc;ng tại C

Do SAperp;(ABCD)rArr;((SB;(ABCD))) ̂=(SBA) ̂=45^∘

Do đoacute; SA=ABtan45^∘=a

AC=radic;AD^2minus;CD^2=aradic;3

rArr;cos⁡((SC;(ABC))) ̂=cos⁡(SCA) ̂=AC/SC=AC/radic;SA^2+AC^2=aradic;3/radic;a^2+3a^2=radic;3/2

cos⁡((SD;(ABCD))) ̂=cos⁡(SDA) ̂=AD/radic;SA^2+AD^2=2/radic;5.

1. b) Ta coacute;:

AI=radic;AC^2+CI^2=radic;3a^2+(a/2)^2=aradic;13/2

Do đoacute;tan((SI;(ABCD))) ̂=tan(SIA) ̂=SA/AI=2/radic;13.

Bagrave;i 5.

Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y lagrave; higrave;nh thang vuocirc;ng tại A vagrave; B coacute; AD=2AB=2CD=2a vagrave; SAperp;(ABCD). Biết rằng SC tạo với đaacute;y một goacute;c 60^∘. Tiacute;nh tan goacute;c giữa SA vagrave; caacute;c mặt phẳng (SBC),(SCD) vagrave; (SBD).

Giải

Ta coacute;: AC=radic;AB^2+BC^2=aradic;2

Do SAperp;(ABCD)rArr;((SC;(ABCD))) ̂=(SCA) ̂=60^∘

Suy ra SA=ACtan⁡60^∘=aradic;6.

Dựng AMperp;SB, coacute; {■(BCperp;SA@BCperp;AB)rArr;BCperp;AM┤

Do đoacute; AMperp;(SBC)

rArr;M lagrave; higrave;nh chiếu của A trecirc;n mặt phẳng (SBC)

Suy ra: ((SA;(SBC))) ̂=(ASM) ̂=(ASB) ̂

Ta coacute;: tan⁡(ASB) ̂=AB/SA=a/aradic;6=1/radic;6

Gọi I lagrave; trung điểm của ADrArr;ABCI lagrave; higrave;nh vuocirc;ng cạnh a

rArr;CI=AD/2=arArr;△ACD vuocirc;ng tại C

Khi đoacute; {■(CDperp;SA@CDperp;AC)rArr;CDperp;(SAC)┤.

Dựng ANperp;SCrArr;((SA;(SCD))) ̂=(ASN) ̂=(ASC) ̂

Ta coacute;: tan⁡(ASC) ̂=AC/SA=aradic;2/aradic;6=1/radic;3

Dựng {■(AEperp;BD@AFperp;SE)rArr;((SA;(SBD))) ̂=(ASF) ̂=(ASE) ̂┤

Mặt khaacute;c AE=ABsdot;AD/radic;AB^2+AD^2=2a/radic;5

rArr;tan⁡(ASE) ̂=AE/SA=radic;30/15.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

Bagrave;i 1.

Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh vuocirc;ng cạnh a. SAperp;(ABCD), SA=x. Xaacute;c định x để hai mặt phẳng (SBC) vagrave; (SCD) tạo với nhau goacute;c 60^o.

Giải

* Trong (SAB) dựng AIperp;SB ta chứng minh được AIperp;(SBC) (1)

Trong (SAD) dựng AJperp;SD ta chứng minh được AJperp;(SCD) (2)

Từ (1) vagrave; (2)  goacute;c ((SBC),(SCD))=(AI,AJ)=(IAJ) ̂

* Ta chứng minh được AI=AJ

Do đoacute;, nếu goacute;c (IAJ) ̂=60^o thigrave; Delta;AIJ đều

AI=AJ=IJ

Delta;SAB vuocirc;ng tại A coacute; AI lagrave; đường cao

AI.SB=SA.AB AI=SA.AB/SB (3)

Vagrave; coacute; SA^2=SI.SB SI=SA^2/SB (4)

Ta chứng minh được IJ//BD

 IJ/BD=SI/SB IJ=SI.BD/SB =SA^2.BD/SB^2 (5)

Thế (3) vagrave; (5) vagrave;o AI=IJ AB=SA.BD/SB

 AB.SB=SA.BD

 a.radic;x^2+a^2=x.aradic;2

 x^2+a^2=2x^2 x=a

Bagrave;i 2.

Cho higrave;nh choacute;p S.ABCD coacute; đaacute;y ABCD lagrave; higrave;nh vuocirc;ng, SAperp;(ABCD).

1. a) Chứng minh (SAC)perp;(SBD).
2. b) Chứng minh (SAD)perp;(SCD).
3. c) Gọi BE vagrave; DF lagrave; đường cao trong tam giaacute;c SBD. Chứng minh rằng (ACF)perp;(SBC);(AEF)perp;(SAC).

...