CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MOcirc;N TOAacute;N!

KHỞI ĐỘNG

• Hatilde;y necirc;u lại cocirc;ng thức cộng cos⁡( a-b),tan⁡( a-b).
• Hatilde;y necirc;u lại cocirc;ng thức nhacirc;n đocirc;i sin⁡2 a,cos⁡2 a,tan⁡2 a.

CHƯƠNG I:

HAgrave;M SỐ LƯỢNG GIAacute;C VAgrave; PHƯƠNG TRIgrave;NH LƯỢNG GIAacute;C

BAgrave;I 2: COcirc;NG THỨC LƯỢNG GIAacute;C

HỆ THỐNG
KIẾN THỨC

1. Cocirc;ng thức cộng

cos(a-b)=cos⁡a cos⁡b+sin⁡a sin⁡b

cos(a+b)=cos⁡a cos⁡b-sin⁡a sin⁡b

sin(a-b)=sin⁡a cos⁡b-cos⁡a sin⁡b

sin(a+b)=sin⁡a cos⁡b+cos⁡a sin⁡b

tan⁡(a-b)=tan⁡〖a-tan⁡〖b 〗 〗/(1+tan⁡〖a tan⁡b 〗 )

tan⁡(a+b)=tan⁡〖a+tan⁡〖b 〗 〗/(1-tan⁡〖a tan⁡b 〗 )

(giả thiết biểu thức đều coacute; nghĩa)

2. Cocirc;ng thức nhacirc;n đocirc;i

sin⁡〖2a=2 sin⁡〖a cos⁡a 〗 〗

cos⁡〖2a=cos^2⁡a-〗 sin^2⁡a=2 cos^2⁡a-1=1-2 〖sin〗^2⁡a

tan⁡2a=2tan⁡a/(1-tan^2⁡a )

Cocirc;ng thức hạ bậc

cos^2 a=(1+cos2a)/2

sin^2 a=(1-cos2a)/2

3. Cocirc;ng thức biến đổi tiacute;ch thagrave;nh tổng

cos acos⁡b=1/2 [cos⁡(a-b)+cos⁡(a+b) ]

sin⁡asin⁡b =1/2 [cos⁡(a-b)-cos⁡(a+b) ] □( )

sin acos⁡b=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]

4. Cocirc;ng thức biến đổi tổng thagrave;nh tiacute;ch

cosu+cosv=2cos (u+v)/2 cos (u-v)/2

cos⁡u-cos⁡v=-2sin⁡(u+v)/2 sin⁡(u-v)/2

sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡(u+v)/2 cos⁡(u-v)/2

sin⁡u-sin⁡v=2cos⁡(u+v)/2 sin⁡(u-v)/2

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tiacute;nh giaacute; trị của biểu thức.

Ruacute;t gọn biểu thức lượng giaacute;c

Phương phaacute;p giải:

Sử dụng caacute;c cocirc;ng thức lượng giaacute;c vagrave; caacute;c goacute;c liecirc;n quan đặc biệt, biến đổi vagrave; tiacute;nh giaacute; trị biểu thức.

Bagrave;i 1. Tiacute;nh giaacute; trị của biểu thức

"a)" A=cos⁡〖pi;/30〗 cos⁡〖pi;/5〗+sin⁡〖pi;/30〗 sin⁡〖pi;/5〗

=cos⁡(pi;/30-pi;/5)=cos⁡(-pi;/6)=radic;3/2

"b)" B=(tan⁡〖225deg;〗-cot⁡〖81deg;〗.cot⁡69deg;)/(cot⁡〖261deg;〗+tan⁡〖201deg;〗 )

=(tan⁡(180^0+45^0 )-tan⁡〖9^0 〗.cot⁡6 9^0)/(cot⁡(180^0+81^0 )+tan⁡(180^0+21^0 ) )

=(1-tan⁡〖9^0 〗.tan⁡2 1^0)/(tan⁡〖9^0 〗+tan⁡2 1^0 )=1/tan⁡(9^0+21^0 ) =1/(tan⁡3 0^0 )=radic;3

"Bagrave;i 2. Tiacute;nh giaacute; trị của biểu thức : a)" M=cos⁡〖2pi;/7〗+cos⁡〖4pi;/7〗+cos⁡〖6pi;/7〗

Giải:

"Aacute;p dụng cocirc;ng thức" sin⁡a-sin⁡b=2.cos⁡〖(a+b)/2〗.sin⁡〖(a-b)/2〗

"Ta coacute;" 2 sin⁡〖pi;/7〗.M=2.cos⁡〖2pi;/7〗.sin⁡〖pi;/7〗+2.cos⁡〖4pi;/7〗.sin⁡〖pi;/7〗+2.cos⁡〖6pi;/7〗.sin⁡〖pi;/7〗

=sin⁡〖3pi;/7〗-sin⁡〖pi;/7〗+sin⁡〖5pi;/7〗-sin⁡〖3pi;/7〗+sin⁡〖7pi;/7〗-sin⁡〖5pi;/7〗=-sin⁡〖pi;/7〗+sin⁡pi;=-sin⁡〖pi;/7〗

"Vậy giaacute; trị biểu thức" M=-1/2.

"b) Cho goacute;c " alpha;" thỏa matilde;n " 0<alpha;<pi;/2 " vagrave; " sin⁡alpha;=2/3 ". Tiacute;nh" P=(1+sin⁡2 alpha;+cos⁡2 alpha;)/(sin⁡alpha;+cos⁡alpha; ).

Giải:

P=(2 sin⁡alpha; cos⁡alpha;+2 〖cos〗^2⁡alpha;)/(sin⁡alpha;+cos⁡alpha; )=(2 cos⁡alpha; (sin⁡alpha;+cos⁡alpha; ))/(sin⁡alpha;+cos⁡alpha; )=2 cos⁡alpha;

"Từ hệ thức " 〖sin〗^2⁡alpha;+〖cos〗^2⁡alpha;=1", suy ra" cos⁡alpha;=plusmn;radic;(1-〖sin〗^2⁡alpha; )=plusmn;radic;5/3

"Do " 0<alpha;<pi;/2 " necirc;n ta chọn" cos⁡alpha;=radic;5/3rArr;P=(2radic;5)/3.

"Bagrave;i 3. Biết " sin⁡(pi;-alpha;)=-3/5 " vagrave; " pi;<alpha;<3pi;/2 ". Tiacute;nh" P=sin⁡(alpha;+pi;/6).

Giải:

"Ta coacute;" -3/5=sin⁡(pi;-alpha;)=sin⁡alpha;

"Từ hệ thức " 〖sin〗^2⁡alpha;+〖cos〗^2⁡alpha;=1", suy ra" cos⁡alpha;=plusmn;radic;(1-〖sin〗^2⁡alpha; )=plusmn;4/5

"Do " pi;<alpha;<3pi;/2 " necirc;n ta chọn" cos⁡alpha;=-4/5

"Suy ra"

P=sin⁡(alpha;+pi;/6)=radic;3/2 sin⁡alpha;+1/2 cos⁡alpha;=radic;3/2 (-3/5)+1/2 (-4/5)=(-4-3radic;3)/10.

"Bagrave;i 4. Cho goacute;c " alpha;" thỏa matilde;n " tan⁡alpha;=-4/3 " vagrave; " alpha;isin;├ 3pi;/2;2pi;┤". Tiacute;nh" P=sin⁡〖alpha;/2〗+cos⁡〖alpha;/2〗.

Giải:

"Ta coacute; " P^2=1+sin⁡alpha;

"Với" alpha;isin;├ 3pi;/2;2pi;┤rArr;alpha;/2isin;├ 3pi;/4;pi;┤

"Khi đoacute; " {█( 0le;sin⁡〖alpha;/2〗<radic;2/2@ -1le;cos⁡〖alpha;/2〗<-radic;2/2)┤" suy ra" P=sin⁡〖alpha;/2〗+cos⁡〖alpha;/2〗<0

"Từ hệ thức " 〖sin〗^2⁡alpha;+〖cos〗^2⁡alpha;=1" suy ra" 〖sin〗^2⁡alpha;=1-〖cos〗^2⁡alpha;=1-1/(1+〖tan〗^2⁡alpha; )=16/25

"Vigrave; " alpha;isin;├ 3pi;/2;2pi;┤" necirc;n ta chọn" sin⁡alpha;=-4/5

"Thay " sin⁡alpha;=-4/5 " vagrave;o " P^2 ", ta được" P^2=1/5

"Suy ra" P=-radic;5/5.

Bagrave;i 5. Biết rằng tan⁡a=1/2 (0<a<90^0 ) vagrave; tan⁡b=-1/3 (90^0<b<180^0 ) thigrave; biểu thức cos⁡(2a-b) coacute; giaacute; trị bằng bao nhiecirc;u?

Giải:

"Ta coacute; " cos⁡2 a=(1-〖tan〗^2⁡a)/(1+〖tan〗^2⁡a )=(1-(1/2)^2)/(1+(1/2)^2 )=3/5 " suy ra" sin⁡2 a=radic;(1-〖cos〗^2⁡2 a)=4/5

"Lại coacute; " 1+〖tan〗^2⁡b=1/〖cos〗^2⁡b rArr;cos⁡b=-1/radic;(1+〖tan〗^2⁡b )=-3/radic;10 " vigrave;" 90^0<b<180^0

"Mặt khaacute;c" sin⁡b=tan⁡b.cos⁡b=(-1/3).(-3/radic;10)=1/radic;10

"Khi đoacute;" cos⁡(2a-b)=cos⁡2 a.cos⁡b+sin⁡2 a.sin⁡b=3/5.(-3/radic;10)+4/5. 1/radic;10=-1/radic;10

"Bagrave;i 6. Cho " alpha;+beta;+gamma;=pi;/2 " vagrave; " cot⁡alpha;+cot⁡gamma;=2 cot⁡beta; ". Hatilde;y tiacute;nh giaacute; trị" P=cot⁡alpha;.cot⁡gamma;

Giải:

"Từ giả thiết, ta coacute;" alpha;+beta;+gamma;=pi;/2rArr;beta;=pi;/2-(alpha;+gamma;)

rArr;cot⁡alpha;+cot⁡gamma;=2 cot⁡beta;=2.cot⁡[pi;/2-(alpha;+gamma;)]=2.tan⁡(alpha;+gamma;)=2.(tan⁡alpha;+tan⁡gamma;)/(1-tan⁡alpha;.tan⁡gamma; )

"Mặt khaacute;c" ( tan⁡alpha;+tan⁡gamma;)/(1-tan⁡alpha;.tan⁡gamma; )=(1/cot⁡alpha; +1/cot⁡gamma; )/(1-1/cot⁡alpha; .1/cot⁡gamma; )=(cot⁡alpha;+cot⁡gamma;)/(cot⁡alpha;.cot⁡gamma;-1) " necirc;n suy ra"

cot⁡alpha;+cot⁡gamma;=2.(cot⁡alpha;+cot⁡gamma;)/(cot⁡alpha;.cot⁡gamma;-1)hArr;cot⁡alpha;.cot⁡gamma;-1=2hArr;cot⁡alpha;.cot⁡gamma;=3.

Bagrave;i 7. Nếu tan⁡alpha; vagrave; tan⁡beta; lagrave; hai nghiệm của phương trigrave;nh x^2-px+q=0 (qne;0) thigrave; giaacute; trị biểu thức P=〖cos〗^2⁡(alpha;+beta;)+p sin⁡(alpha;+beta;).cos⁡(alpha;+beta;)+q 〖sin〗^2⁡(alpha;+beta;) bằng bao nhiecirc;u?

Giải:

Vigrave; tan⁡alpha;,tan⁡beta; lagrave; hai nghiệm của phương trigrave;nh x^2-px+q=0 necirc;n theo định liacute; Viet, ta coacute;

{█(tan⁡alpha;+tan⁡beta;=p@tan⁡alpha;.tan⁡beta;=q)┤rArr;tan⁡(alpha;+beta;)=(tan⁡alpha;+tan⁡beta;)/(1-tan⁡alpha;.tan⁡beta; )=p/(1-q)

Khi đoacute; P=〖cos〗^2⁡(alpha;+beta;).[1+p.tan⁡(alpha;+beta;)+q.〖tan〗^2⁡(alpha;+beta;) ]

P=〖cos〗^2⁡(alpha;+beta;).[1+p.tan⁡(alpha;+beta;)+q.〖tan〗^2⁡(alpha;+beta;) ]

=(1+p.tan⁡(alpha;+beta;)+q.〖tan〗^2⁡(alpha;+beta;))/(1+〖tan〗^2⁡(alpha;+beta;) )=(1+p.p/(1-q)+q.(p/(1-q))^2)/(1+(p/(1-q))^2 )

=((1-q)^2+p^2 (1-q)+q.p^2)/((1-q)^2+p^2 )=((1-q)^2+p^2-p^2.q+q.p^2)/((1-q)^2+p^2 )=1.

Bagrave;i 8. Trong Higrave;nh vẽ sau, ba điểm M, N, P nằm ở đầu caacute;c caacute;nh quạt tua-bin gioacute;. Biết caacute;c caacute;nh quạt dagrave;i 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất lagrave; 30m, goacute;c giữa caacute;c caacute;nh quạt lagrave; 2pi;/3 vagrave; số đo goacute;c (OA, OM) lagrave; alpha;.

1. a) Tiacute;nh sinalpha;vagrave; cosalpha;.
2. b) Tiacute;nh sin của caacute;c goacute;c lượng giaacute;c (OA, ON) vagrave; (OA, OP), từ đoacute; tiacute;nh chiều cao của caacute;c điểm N vagrave; P so với mặt đất (theo đơn vị meacute;t). Lagrave;m trograve;n kết quả đến hagrave;ng phần trăm.

Giải:

1. a) Trong hệ trục tọa độ xOy như higrave;nh vẽ, ta coacute; điểm M nằm ở goacute;c phần tư thứ IV

rArr;sinalpha;=(-30)/31

0^o<(OA,OM)=alpha;<90^o

rArr;cos⁡alpha;=radic;(1-((-30)/31)^2 )=radic;61/31

"b) " (OA,OP)=2pi;/3-|alpha;|" (Chuacute; yacute;:" alpha;<0)

(OA,ON) = (OA,OP) + (OP,ON) =(2pi;/3-|alpha;|)+2pi;/3=4pi;/3-|alpha;|

sin⁡(OA,OP)=sin(2pi;/3+alpha;)=sin 2pi;/3 cosalpha;+cos 2pi;/3 sin alpha;asymp;0,7

sin⁡(OA,ON)=sin(4pi;/3+alpha;)=sin 4pi;/3 cos alpha;+cos 4pi;/3 sin alpha;asymp;0,27

"Chiều cao điểm " N" so với mặt đất lagrave;:" 60+31.|sin(4pi;/3-alpha;)|asymp;68,37 m

"Chiều cao điểm " P" so với mặt đất lagrave;:" 60+31.sin(2pi;/3+alpha;)asymp;81,7 m.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

...