CHÀO MỪNG THẦY CÔ VÀ CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY

CHƯƠNG IX: ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 29: TỨ GIÁC NỘI TIẾP

02.

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

Dạng toán nâng cao và phát triển tư duy

BÀI 1

Cho tam giác nhọn với . Các đường cao cắt nhau tại .

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh là phân giác góc .

c) Đường thẳng qua và song song với cắt lần lượt tại . Chứng minh là trung điểm .

Bài giải

a)

;

suy ra .

Suy ra .

Do đó tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có .

Suy ra là tứ giác nội tiếp.

Suy ra (cùng chắn cung ).

. Suy ra là tứ giác nội tiếp.

Suy ra (cùng chắn cung ).

Mà (cùng phụ

Suy ra .

Do đó là phân giác

c)

là tứ giác nội tiếp suy ra (cùng chắn cung )

Mà (cùng phụ với

Tứ giác nội tiếp suy ra (cùng chắn cung ).

Suy ra .

suy ra (so le trong)

Suy ra .

Do đó cân tại nên . (1)

nên .

Suy ra .

Do đó, cân tại . Suy ra . (2)

Từ (1)(2) suy ra

Vì vậy là trung điểm

BÀI 2

Cho nhọn nội tiếp đường tròn có ba đường cao cắt nhau tại .

a) Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp.

b) Giả sử hai điểm cố định, điểm di động trên cung lớn của đường tròn ( khác ). Tìm vị trí điểm sao cho chu vi tam giác là lớn nhất.

Bài giải

a)

Xét tứ giác :

.

Suy ra .

Do đó tứ giác nội tiếp.

b)

vuông tại nên thuộc đường tròn đường kính .

vuông tại nên thuộc đường tròn đường kính .

Suy ra thuộc một đường tròn hay là tứ giác nội tiếp.

Suy ra .

Mà (kề bù)

Suy ra (1)

Trên tiếp tuyến tại của lấy điểm .

Xét có là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung ;

là góc ở tâm chắn cung ;

Suy ra (2)

Từ (1)(2) suy ra

Mà 2 góc ở vị trí so le trong nên .

Mà nên .

Chứng minh tương tự .

Do đó, chu vi tam giác lớn nhất khi diện tích tam giác lớn nhất. Suy ra là điểm chính giữa cung lớn .

BÀI 3

Cho nửa đường tròn đường kính . Lấy điểm thuộc nửa đường tròn ( khác và ), trên cung lấy điểm ( khác và ). Hai dây cắt nhau tại . Kẻ đoạn thẳng vuông góc với ( thuộc ).

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh .

c) Chứng minh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

Bài giải

a)

Xét tứ giác có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

()

Vì nên tứ giác nội tiếp.

b)

(g-g) suy ra

Do đó .

c)

Xét (2 góc nội tiếp chắn cung ) suy ra . (1)

Tứ giác nội tiếp nên (2 góc nội tiếp chắn cung ). (2)

Tứ giác có nên tứ giác nội tiếp.

Suy ra (2 góc nội tiếp cùng chắng cung ). (3).

Từ (1)(2)(3) suy ra .

Suy ra là phân giác

Xét có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

suy ra .

Tứ giác nội tiếp nên (cùng chắn cung EF).

Suy ra .

Suy ra là phân giác

có là hai đường phân giác cắt nhau tại nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác .

BÀI 4

Từ điểm nằm ngoài đường tròn , kẻ tiếp tuyến ( là tiếp điểm) và cát tuyến không đi qua tâm (điểm nằm giữa ). Gọi là trung điểm . Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm (trong đó điểm thuộc cung ). Gọi là giao điểm của và .

a) Chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh và

c) Chứng minh rằng khi đường tròn và điểm cố định đồng thời cát tuyến thay đổi thì điểm nằm trên một đường tròn cố định.

--------------- Còn tiếp ---------------