MỞ ĐẦU

Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang h không? (H4.1).

(Trong các toà chung cư, người ta thường thiết kế đoạn dốc cho người đi xe lăn với góc dốc bé hơn 6^o).

Giải chi tiết:

Ta có thể xác định “góc dốc” α của một đoạn đường dốc khi biết độ dài của dốc là a và độ cao của đỉnh dốc so với đường nằm ngang h qua các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Trong đó:

1. KHÁI NIỆM TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Câu hỏi trang 67 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Xét góc C của tam giác ABC vuông tại A (H.4.3). Hãy chỉ ra cạnh đối và cạnh kề của góc C.

Giải chi tiết:

Cạnh đối của góc C là cạnh AB, cạnh kề của góc C là cạnh AC.

Hoạt động 1 trang 67 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống:

Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có . Chứng minh rằng:

Giải chi tiết:

a) Xét hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có:

=> (g-g)

b) Vì (cmt) nên ta có:

+

+

+

Luyện tập 1 trang 68 sgk toán 9 tập 1 sách kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Hãy tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Giải chi tiết:

Theo định lý Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC² = 5² + 12² = 169 nên BC = 13 cm

Hoạt động 2 trang 69 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a (H.4.7.a).

a) Hãy tính BC và các tỉ số . Từ đó suy ra sin 45^o, cos 45^o.

b) Hãy tính các tỉ số . Từ đó suy ra tan 45^o, cot 45^o.

Giải chi tiết:

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a² nên

Ta có:

sin 45^o = ; cos 45^o = .

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên ta có:

Hoạt động 3 trang 68 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Xét tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a (H.4.7b).

a) Tính đường cao AH của tam giác ABC.

b) Tính sin 30^o, cos 30^o, sin 60^o và cos 60^o.

c) Tính tan 30^o, cot 30^o, tan 60^o và cot 60^o.

Giải chi tiết:

a) Theo định lí Pythagore ta có: AH² = AB² – BH² = (2a)² – a² = 3a²

=> AH = .

b) Ta có:

c) Ta có:

Luyện tập 2 trang 70 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A có và AB = c. Tính BC và AC theo c.

Giải chi tiết:

Ta có:mà sin 45^o = nên BC = .

Vì tam giác ABC vuông tại A có

=> Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A => AB = AC = c.

2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU

Hoạt động 4 trang 70 sgk toán 9 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại C, có (H.4.9). Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc α, β theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Trong các tỉ số đó, cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Giải chi tiết:

Với góc α: .

Với góc β: .

Các cặp tỉ số bằng nhau là:

.

3. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÍNH TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC NHỌN

Luyện tập 4 trang 71 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Sử dụng MTCT tính các tỉ số lượng giác và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba:

a) sin 40^o54’; b) cos 52^o15’;

c) tan 69^o36’; d) cot 25^o18’.

Giải chi tiết:

a) sin 40^o54’ = 0,655 b) cos 52^o15’ = 0,612

c) tan 69^o36’ = 2,689 d) cot 25^o18’ = 2,116.

Luyện tập 5 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tìm các góc α (làm tròn đến phút), biết:

a) sin α = 0,3782; b) cos α = 0,6251; c) tan α = 2,154; d) cot α = 3,253.

Giải chi tiết:

a) α = 22^o13’ c) α = 65^o5’

b) α = 51^o19’ d) α = 17^o5’

Vận dụng trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức

Trở lại bài toán ở tình huống mở đầu. Trong một toà chung cư, biết đoạn dốc vào sảnh toà nhà dài 4 m, độ cao của đỉnh dốc bằng 0,4 m.

a) Hãy tính góc dốc.

b) Hỏi góc đó có đúng tiêu chuẩn của dốc cho xe lăn không?

Giải chi tiết:

a) Ta có: sin α = => α = 5^o44’

b) Vì α = 5^o44’ < 6^o nên góc đó phù hợp với tiêu chuẩn của dốc cho xe lăn.

Tranh luận trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A, B không đo trực tiếp được, chẳng hạn A và B là hai địa điểm ở hai bên sông, người ta lấy điểm C về phía bờ sông có chứa B sao cho tam giác ABC vuông tại B. Ở bên bờ sông chứa B, người ta đo được và BC = a (H.4.10). Với các dữ liệu đó, đã tính được khoảng cách AB chưa? Nêu được, hãy tính AB, biết α = 55^o, a = 70 m.

Em hãy cho biêt ý kiến của mình.

Giải chi tiết:

Có thể tính được AB, dựa trên công thức

Khi α = 55^o, a = 70 m thì .

4. GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP CUỐI SGK

Giải chi tiết bài 4.1 trang 73 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, côtang của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 8 cm, BC = 17 cm b) AC = 0,9 cm, AB = 1,2 cm.

Giải chi tiết:

a) Theo định lí Pythagore ta có: AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225 nên AC = 15 cm.

Ta có:

+

+

b) Theo định lí Pythagore ta có: BC² = AC² + AB² = 0,9² + 1,2² = 2,25 nên BC = 125 cm.

Ta có:

+

+

Giải chi tiết bài 4.2 sgk trang 72 toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60^o và cạnh kề với góc 60^o bằng 3 cm. Tính cạnh đối của góc này.

Giải chi tiết:

Ta có: tan 60^o = mà tan 60^o =

Độ dài cạnh kề là: .

Giải chi tiết bài 4.4 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30^o và cạnh đối với góc này bằng 5 cm. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Giải chi tiết:

Ta có: sin 30^o = mà sin 30^o =

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác là:

Giải chi tiết bài 4.4 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và . Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác trang 69).

Giải chi tiết:

Độ dài cạnh huyền là:

Ta có: cos α = . Tra bảng ta thấy α = 60^o

Vậy góc cần tìm là 60^o.

Giải chi tiết bài 4.5 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

a) Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o:

sin 55^o, cos 62^o, tan 57^o, cot 64^o.

b) Tính

Giải chi tiết:

a) sin 55^o = cos 45^o, cos 62^o = sin 28^o, tan 57^o = cot 33^o, cot 64^o = tan 26^o.

b) Ta có: (do 65^o và 25^o là hai góc phụ nhau)

(do 34^o và 56^o là hai góc phụ nhau)

Giải chi tiết bài 4.6 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tính (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) sin 40^o12’; b) cos 52^o54’;

c) tan 63^o36’; d) cot 35^o20’.

Giải chi tiết:

a) sin 40^o12’ = 0,645 b) cos 52^o54’ = 0,603

c) tan 63^o36’ = 2,014 d) cot 35^o20’ = 1,411

Giải chi tiết bài 4.7 trang 72 sgk toán 9 tập 1 kết nối tri thức và cuộc sống

Dùng MTCT, tìm số đo góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng

a) sin x = 0,2368; b) cos x = 0,6224;

c) tan x = 1,236 d) cot x = 2,154.

Giải chi tiết:

a) x = 13^o42’ b) x = 51^o31’

c) x = 51^o2’ d) x = 24^o54’