PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (I) có đường kính CB.

1. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (I).

2. Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

3. Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (I). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.

4. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các

đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.

1. Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?

2. Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C

thẳng hàng;

3. Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của (O’).

Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn

(O’) có đường kính CB.

1. Hai đường tròn (O) và (O’) có vị trí tương đối như thế nào?

2. Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

3. Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh rằng 3 điểm E, C, K

thẳng hàng;

4. Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm trên đường tròn (O) (M không trùng với A và B). Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn tâm M (C, D là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh AC + BD = AB.

2. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 1:

1. Vì điểm C nằm giữa hai điểm A và O, I là trung điểm của BC nên I nằm giữa hai điểm B và O, dó đó OI = OB − IB. Vậy hai đường tròn (O) và (I) tiếp xúc trong với nhau tại I.

2. Vì H là trung điểm của AC và DE, DE ⊥ AC tại H

=> DH = DE (tính chất đối xứng)

=> tứ giác ADCE có hai đường chéo vuông góc tại trung điểm mỗi đường nên là hình thoi.

3. Ta có CK ⊥ AB, AD ⊥ DB nên CK ∥ AD, mà CE ∥ AD do đó ba điểm B, K, D thẳng

hàng.

4. Ta có nên:

=>

Vậy HK là tiếp tuyến của

Bài 2:

1. Tứ giác BDCE có BK = KC, DK = KE nên là hình bình hành.

Lại có BC ⊥ DE nên BDCE là hình thoi.

2. Ta có có nên hay

Tương tự => BD // IC

Lại có BD // EC

=> E, I, C thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)

3. Nối KI và IO’ có: KI = KD = KE (KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, (1)

cân tại nên (2)

Từ (1)(2) suy ra

Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Bài 3:

1. Ta có OO’ = OB – O’B ⇒ hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong tại B.

2. Dây DE của (O) vuông góc với đường kính AB ⇒ AB đi qua trung điểm của DE hay H là trung điểm của AB.

Xét tứ giác ADCE có H là trung điểm của AB, H cũng là trung điểm của AC ⇒ tứ giác

ADCE là hình bình hành.

Lại có AC ⊥ DE ⇒ tứ giác ADCE là hình thoi

3. KCB có trung tuyến KO’ nên vuông tại K

=> hay (1)

Tương tự hay (2)

Từ (1)(2) => CK // AD

Lại có CE // AD (vì tứ giác ADCE là hình thoi) ⇒ C, E, K thẳng hàng.

4. Xét tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến nên KH = HE.

Tam giác KHE có KH = HE ⇒ KHE cân tại H =>

Lại có cân tại O’

=>

=>

=>

Mặt khác (đối đỉnh)

vuông tại nên

=> hay nên KH là tiếp tuyến của

Bài 4:

1. Chứng minh AC + BD = AB.

Ta có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A của (M) ⇒ AH = AC (tính chất 2 tiếp

tuyến cắt nhau).

Tương tự ta có BH = BD.

⇒ AH + BH = AC + BD ⇔ AC + BD = AB (điều phải chứng minh).

2. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có AC và AH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A của (M)

=> MA là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

=>

Tương tự

Suy ra:

=> =>

=> C, M, D thẳng hàng

Suy ra M là trung điểm của CD hay tứ giác ACDB là hình thang vuông, đáy AC, BD.

Mặt khác AC và BD là tiếp tuyến của (M) (giả thiết)

=> AC CD; nên AC // BD

Lại có O là trung điểm của AB nên OM là đường trung bình của hình thang ACDB suy ra OM // BD.

OM ⊥ CD nên CD là tiếp tuyến của (O) (điều phải chứng minh)