CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
MOcirc;N TOAacute;N!

KHỞI ĐỘNG

• Hatilde;y cho viacute; dụ về một datilde;y số bằng hệ thức truy hồi.
• Cho datilde;y số (u_n ) với u_n=1/n,forall;nisin;N^lowast;

Datilde;y số lagrave; datilde;y tăng hay giảm, datilde;y coacute; bị chặn khocirc;ng?

CHƯƠNG II:

DAtilde;Y SỐ. CẤP SỐ CỘNG VAgrave; CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I 5: DAtilde;Y SỐ

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Định nghĩa datilde;y số

• Mỗi hagrave;m số u xaacute;c định trecirc;n tập caacute;c số nguyecirc;n dương N^lowast; được gọi lagrave; một datilde;y số vocirc; hạn, kiacute; hiệu lagrave; u=u(n).
• Dạng khai triển: u_1,u_2,hellip;,u_n,hellip;

Số u_1 gọi lagrave; số hạng đầu, u_n lagrave; số hạng thứ n vagrave; gọi lagrave; số hạng tổng quaacute;t của datilde;y số.

Viacute; dụ: datilde;y caacute;c số tự nhiecirc;n chia hết cho 3.

Chuacute; yacute;: (ushy;n) lagrave; datilde;y số khocirc;ng đổi: forall;nisin;N^lowast;, u_n=c.

• Mỗi hagrave;m số u xaacute;c định trecirc;n tacirc;p M={1;2;3;hellip;,m} với misin;N^lowast; được gọi lagrave; một datilde;y số hữu hạn.
• Dạng khai triển của datilde;y số hữu hạn lagrave; u_1,u_2,hellip;,u_m.

Số u_1 gọi lagrave; số hạng đầu, số u_m gọi lagrave; số hạng cuối.

Viacute; dụ: datilde;y caacute;c số tự nhiecirc;n chia hết cho 3 nhỏ hơn 30.

2. Caacute;c caacute;ch cho một datilde;y số

-Liệt kecirc; caacute;c số hạng (chỉ dugrave;ng cho caacute;c datilde;y hữu hạn vagrave; coacute; iacute;t số hạng)

-Cocirc;ng thức của số hạng tổng quaacute;t

-Phương phaacute;p mocirc; tả

-Phương phaacute;p truy hồi

3. Datilde;y số tăng, datilde;y số giảm vagrave; datilde;y số bị chặn

• Datilde;y số (u_n ) được gọi lagrave; datilde;y số tăng nếu ta coacute; u_(n+1)>u_n với mọi nisin;N^lowast;.

Viacute; dụ: Datilde;y số u_n=3n+9 lagrave; datilde;y số tăng.

• Datilde;y số (u_n ) được gọi lagrave; datilde;y số giảm nếu ta coacute; u_(n+1)<u_n với mọi nisin;N^lowast;.

Viacute; dụ: Datilde;y số u_n=-3n+2 lagrave; datilde;y số giảm.

• Datilde;y số (u_n ) được gọi lagrave; bị chặn trecirc;n nếu tồn tại một số M sao cho u_nle;M với mọi nisin;N^lowast;.
• Datilde;y số (u_n ) được gọi lagrave; bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_nge;m với mọi nisin;N^lowast;.
• Datilde;y số (u_n ) được gọi lagrave; bị chặn nếu noacute; vừa bị chặn trecirc;n vừa bị chặn dưới, tức lagrave; tồn tại caacute;c số m,M sao cho mle;u_nle;M với mọi nisin;N^lowast;.

Viacute; dụ: Datilde;y số u_n=cos⁡2n lagrave; datilde;y bị chặn.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xaacute;c định số hạng của datilde;y số

Phương phaacute;p giải:

-Dựa vagrave;o số hạng tổng quaacute;t, hoặc tiacute;nh chất của datilde;y để tigrave;m caacute;c số hạng theo yecirc;u cầu đề bagrave;i.

-Dựa vagrave;o đặc điểm của caacute;c số hạng để tigrave;m số hạng tổng quaacute;t.

Bagrave;i 1. Viết 5 số hạng đầu tiecirc;n của datilde;y số sau:

"a) " u_n=(2n-1)/(n+1) " b)" {█(u_1=u_2=1@u_n=u_(n-1)+u_(n-2) )┤(n>2)

rarr;1/2;1;5/4;7/6;3/2

rarr;1;1;2;3;5

Bagrave;i 2. Dự đoaacute;n số hạn tổng quaacute;t của caacute;c datilde;y số sau:

1. a) (u_n):1;2;4;8;16;...

"b)" (u_n):(-1)/2;1/3;(-1)/4;1/5;...

1. c) (u_n){█(u_1=3@u_(n+1)=2u_n )┤(nge;1)

Vigrave;: u_1=3;u_2=2.3; u_3=2u_2=2.2.3=2^2.3; u_4=2u_3=2.2^2.3=2^3.3
...u_n=2^(n-1).3

"Bagrave;i 3. a) Cho datilde;y số " (y_n )" xaacute;c định bởi" y_n=(2^n-1)/(2^n+1) (nisin;N^lowast; )." Xaacute;c định năm số hạng đầu của"

datilde;y số (y_n ).

1. b) Cho datilde;y số (y_n ) xaacute;c định bởi y_1=y_2=1 vagrave; y_(n+2)=y_(n+1)+y_n,forall;nisin;N^lowast;. Viết năm số hạng đầu của datilde;y số.
2. c) Tigrave;m năm số hạng đầu vagrave; số hạng thứ 100 của datilde;y số cho bởi cocirc;ng thức sau: u_n=-3n.

Giải:

"a)" 1/3, 3/5, 7/9, 15/17, 31/33

1. b) 1, 1, 2, 3, 5
2. c) Năm số hạng đầu lagrave;: -3; -6; -9; -12; -15

Số hạng thứ 100 của datilde;y số lagrave;: u_100=-3.100=-300.

"Bagrave;i 4. a) Cho datilde;y số " (u_n )" coacute; " u_n=(n+1)/(2n+1) ". Số" 13/25 " lagrave; số hạng thứ bao nhiecirc;u của"

datilde;y số (u_n ) .

1. b) Cho datilde;y số (a_n ) coacute; a_n=-n^2+4n+11,forall;nisin;N^lowast;. Số (-10) lagrave; số hạng thứ bao nhiecirc;u của datilde;y số (a_n )?

Giải:

"a) Giải phương trigrave;nh " (n+1)/(2n+1)=13/25 " ta được " n=12." Vậy" 13/25 " lagrave; số hạng thứ" 12.

7. b) Giải phương trigrave;nh -n^2+4n+11=-10rArr;n=7. Vậy -10 lagrave; số hạng thứ 7.

Bagrave;i 5. Cho datilde;y số (a_n ) xaacute;c định bởi a_1=-3 vagrave; a_(n+1)=a_n+n^2-3n+4,forall;nisin;N^lowast;. Số 1391 lagrave; số hạng thứ mấy của datilde;y số đatilde; cho?

Giải:

Từ hệ thức truy hồi của datilde;y số (a_n ) ta coacute;:

a_n=a_1+[1^2+2^2+...+(n-1)^2 ]-3[1+2+...+(n-1)]+4(n-1)

hArr;a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3

"Suy ra số hạng tổng quaacute;t của datilde;y số " (a_n )" lagrave;" a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3

Giải phương trigrave;nh a_n=1391 ta được n=18.

"Bagrave;i 6. Cho datilde;y số "(u_n)" thỏa matilde;n " u_1=1/2;u_(n+1)=u_n/(2(n+1)u_n+1),nge;1." "

"Tigrave;m " n" coacute; giaacute; trị nguyecirc;n dương lớn nhất để " S_n=u_1+u_2+...+u_n<2017/2018 " ."

Giải:

Dễ chứng minh được u_n>0,forall;nge;1

"Từ hệ thức truy hồi của datilde;y số, ta coacute;" 1/u_(n+1) =1/u_n +2n+2,forall;nge;1

"Suy ra" 1/u_n =1/u_1 +2(1+2+..+n-1)+2(n-1)

hArr;1/u_n =2+n(n-1)+2(n-1)=n^2+nrArr;u_n=1/(n(n+1))

"Do đoacute;" u_n=1/n-1/(n+1),forall;nge;1". Vậy" S_n=u_1+u_2+...+u_n=1-1/(n+1)=n/(n+1)

"Vigrave; " S_n<2017/2018 " necirc;n" n/(n+1)<2017/2018rArr;n<2017

"Suy ra số nguyecirc;n dương lớn nhất để " S_n<2017/2018 " lagrave;" n=2016.

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Xeacute;t tiacute;nh tăng, giảm của datilde;y số

Phương phaacute;p giải:

- Caacute;ch 1: Dugrave;ng định nghĩa, bằng caacute;ch xeacute;t hiệu u_(n+1)-u_n.

"- Caacute;ch 2: Nếu " u_n>0", mọi " nisin;N^lowast; " thigrave; tiacute;nh" T=u_(n+1)/u_n .

Bagrave;i 1.

1. a) Chứng minh datilde;y số (x_n ) với x_n=n^2-2n+3 lagrave; một datilde;y số tăng.

Giải:

Ta coacute; x_(n+1)=(n+1)^2-2(n+1)+3=n^2+2

Suy ra x_(n+1)-x_n=(n^2+2)-(n^2-2n+3)=2n-1>0,forall;nge;1

hay x_(n+1)>x_n,forall;nge;1

Vậy (x_n ) lagrave; một datilde;y số tăng.

"b) Chứng minh datilde;y số " (y_n )" với" y_n=(n+2)/5^n " lagrave; một datilde;y số giảm."

Giải:

"Caacute;ch 1: Ta coacute;" y_(n+1)=(n+3)/5^(n+1)

"Suy ra " y_(n+1)-y_n=(n+3)/5^(n+1) -(n+2)/5^n =-(4n+7)/5^(n+1) <0,forall;nge;1" hay" y_(n+1)<y_n,forall;nge;1

Vậy (y_n ) lagrave; một datilde;y số giảm.

"Caacute;ch 2: Với "forall;nisin;N^lowast; ", ta coacute; " y_n>0" necirc;n ta xeacute;t tỉ số" y_(n+1)/y_n

"Ta coacute; " y_(n+1)=(n+3)/5^(n+1) " necirc;n" y_(n+1)/y_n =(n+3)/5(n+2) <1,forall;nge;1

Vậy (y_n ) lagrave; một datilde;y số giảm.

1. c) Xeacute;t tiacute;nh tăng giảm của datilde;y số (z_n ) với z_n=(-1)^n.

Giải:

Datilde;y số (z_n ) với z_n=(-1)^n khocirc;ng phải lagrave; một datilde;y số tăng cũng khocirc;ng phải lagrave; một datilde;y số giảm

vigrave; z_(n+1)-z_n=(-1)^(n+1)-(-1)^n=-2(-1)^n khocirc;ng xaacute;c định được dương hay acirc;m

Đacirc;y lagrave; datilde;y số đan dấu.

Bagrave;i 2. Xeacute;t tiacute;nh tăng giảm của caacute;c datilde;y số sau:

1. a) Datilde;y (a_n ), với a_n=(-1)^(n+1).sin⁡〖pi;/n〗,forall;nisin;N^lowast;.
2. b) Datilde;y (b_n ), với b_n=(-1)^2n.(5^n+1),forall;nisin;N^lowast;.
3. c) Datilde;y (c_n ), với c_n=1/n,forall;nisin;N^lowast;.

Giải:

1. a) Datilde;y số (a_n) lagrave; datilde;y đan dấu necirc;n khocirc;ng phải lagrave; datilde;y số tăng cũng khocirc;ng phải lagrave; datilde;y số giảm.
2. b) Ta coacute; b_n=5^n+1 (do (-1)^2n=1)

Vigrave; b_(n+1)=5^(n+1)+1=5.5^n+1>b_n,forall;nge;1 necirc;n (b_n) lagrave; một datilde;y số tăng.

1. c) Ta coacute; c_(n+1)=1/(n+1)<1/n=c_n,forall;nisin;Nlowast;. Vậy (c_n) lagrave; một datilde;y số giảm.

Bagrave;i 3. Xeacute;t tiacute;nh tăng giảm của datilde;y số sau

"a) Datilde;y " (c_n )", với" c_n=1/(n+radic;(n+1)),forall;nisin;N^lowast;

...