NHIỆT LIỆT CHAgrave;O MỪNG TẤT CẢ CAacute;C EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC !

KHỞI ĐỘNG

• Cho viacute; dụ về cấp số cộng.
• Cho cấp số cộng coacute; số hạng đầu lagrave; u_1=3, số hạng thứ hai lagrave; u_2=2, hatilde;y xaacute;c định cocirc;ng sai vagrave; số hạng tổng quaacute;t của cấp số cộng nagrave;y.

CHƯƠNG II:

DAtilde;Y SỐ. CẤP SỐ CỘNG

VAgrave; CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I 6: CẤP SỐ CỘNG

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Định nghĩa

Cấp số cộng lagrave; một datilde;y số (hữa hạn hay vocirc; hạn), trong đoacute; kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước noacute; cộng với một số khocirc;ng đổi d. Số d được gọi lagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng (u_n ) với cocirc;ng sai d được cho bởi hệ thức truy hồi

u_n=u_(n-1)+d" với " nge;2". "

Viacute; dụ: Cấp số cộng: 1; 4; 7; 10; 13;hellip;

2. Số hạng tổng quaacute;t

Nếu cấp số cộng (u_n ) coacute; số hạng đầu u_1 vagrave; cocirc;ng sai d thigrave; số hạng tổng quaacute;t u_n của noacute; được xaacute;c định theo cocirc;ng thức

u_n=u_1+(n-1)d

Chuacute; yacute;: Tiacute;nh chất

u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2, forall;kge;2

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n ) với cocirc;ng sai d. Đặt S_n=u_1+u_2+hellip;+u_n. Khi đoacute;

S_n=n/2 [2u_1+(n-1)d]

"hay" S_n=n(u_1+u_n )/2

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xaacute;c định cấp số cộng vagrave; caacute;c yếu tố của cấp số cộng

Phương phaacute;p giải:

Để xaacute;c định một cấp số cộng ta xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai.

Bagrave;i 1. a) Chứng minh rằng datilde;y số hữu hạn sau lagrave; một cấp số cộng: -2, 2, 6, 10, 14, 18.

"b) Cho cấp số cộng " (u_n )" coacute; 7 số hạng với số hạng đầu " u_1=2/3 " vagrave; cocirc;ng sai" d=-4/3.

Viết dạng khai triển của cấp số cộng đoacute;.

Giải:

1. a) Vigrave; 2=-2+4;emsp;emsp;emsp;  6=2+4;emsp;emsp;emsp;   10=6+4;

14=10+4;emsp;emsp;emsp;18=14+4.

Necirc;n theo định nghĩa cấp số cộng, datilde;y số -2, 2, 6, 10, 14, 18 lagrave; một cấp số cộng với cocirc;ng sai d=4.

1. b) Ta coacute; u_2=u_1+d=-2/3;emsp;emsp;emsp; u_3=u_2+d=-2;emsp;emsp;emsp; u_4=u_3+d=-10/3;

u_5=u_4+d=-14/3;emsp;emsp;emsp;u_6=u_5+d=-6;emsp;emsp;emsp; u_7=u_6+d=-22/3;

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng (u_n ) lagrave;

2/3; -2/3; -2; -10/3; -14/3; -6; -22/3

Bagrave;i 2. Tigrave;m số hạng đầu vagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng sau

1. a) Datilde;y số (a_n ), với a_n=4n-3

Giải:

Ta coacute; a_(n+1)=4(n+1)-3=4n+1 necirc;n

a_(n+1)-a_n=(4n+1)-(4n-3)=4, forall;nge;1

Do đoacute; (a_n ) lagrave; cấp số cộng với số hạng đầu a_1=4.1-3=1 vagrave; cocirc;ng sai d=4.

"b) Datilde;y số " (b_n )", với" b_n=(2-3n)/4

Giải:

"Ta coacute; " b_(n+1)=(2-3(n+1))/4=(-1-3n)/4 " necirc;n"

b_(n+1)-b_n=(-1-3n)/4-(2-3n)/4=-3/4, forall;nge;1

"Suy ra " (b_n )" lagrave; cấp số cộng với số hạng đầu " b_1=(2-3.1)/4=-1/4 " vagrave; cocirc;ng sai" d=-3/4

1. c) Datilde;y số (c_n ), với c_n=6n-4

Giải:

Ta coacute;: c_(n+1)-c_n=6(n+1)-4-(6n-4)=6, forall;nge;1

Do đoacute; (c_n ) lagrave; cấp số cộng với số hạng đầu a_1=6.1-4=2 vagrave; cocirc;ng sai d=6.

Bagrave;i 3. a) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; u_1=123 vagrave; u_3-u_15=84. Tigrave;m số hạng u_17.

5. b) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; u_1=2 vagrave; d=-5. Tigrave;m u_20. Số -2018 lagrave; số hạng thứ bao nhiecirc;u của cấp số cộng?

Giải:

"a) Ta coacute; cocirc;ng sai của cấp số cộng lagrave;" d=(u_3-u_15)/(3-15)=84/(-12)=-7

Suy ra u_17=u_1+(17-1)d=11

19. b) Ta coacute; u_20=u_1+(20-1)d=2+19.(-5)=-93

Số hạng tổng quaacute;t của cấp số cộng lagrave; u_n=u_1+(n-1)d=7-5n

Vigrave; u_n=-2018 necirc;n 7-5n=-2018hArr;n=405

Do n=405 lagrave; số nguyecirc;n dương necirc;n số -2018 lagrave; số hạng thứ 405 của cấp số cộng đatilde; cho.

5. b) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; u_1=2 vagrave; d=-5. Tigrave;m u_20. Số -2018 lagrave; số hạng thứ bao nhiecirc;u của cấp số cộng?

Giải:

"a) Ta coacute; cocirc;ng sai của cấp số cộng lagrave;" d=(u_3-u_15)/(3-15)=84/(-12)=-7

Suy ra u_17=u_1+(17-1)d=11

19. b) Ta coacute; u_20=u_1+(20-1)d=2+19.(-5)=-93

Số hạng tổng quaacute;t của cấp số cộng lagrave; u_n=u_1+(n-1)d=7-5n

Vigrave; u_n=-2018 necirc;n 7-5n=-2018hArr;n=405

Do n=405 lagrave; số nguyecirc;n dương necirc;n số -2018 lagrave; số hạng thứ 405 của cấp số cộng đatilde; cho.

Bagrave;i 4. a) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; u_99=101 vagrave; u_101=99. Tigrave;m u_100.

2. b) Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Tiacute;nh giaacute; trị của biểu thức P=x^2+y^2.

Giải:

"a) Theo tiacute;nh chất của cấp số cộng, ta coacute; " u_100=(u_99+u_101)/2 " necirc;n" u_100=100.

"b) Theo tiacute;nh chất của cấp số cộng, ta coacute; " x=(-2+6)/2=2" vagrave;" 6=(x+y)/2

Vigrave; x=2 necirc;n y=10

Vậy P=x^2+y^2=2^2+10^2=104.

Bagrave;i 5.

1945. a) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; u_2=2017;u_5=1945. Tiacute;nh u_2018.

Giải:

Gọi d lagrave; cocirc;ng sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta coacute;:

{█(u_1+d=2017@u_1+4d=1945)┤hArr;{█(u_1=2041@d=-24)┤

Suy ra u_2018=u_1+2017d=-46367

1. b) Cho cấp số cộng (x_n ) coacute; S_n=3n^2-2n. Tigrave;m số hạng đầu u_1 vagrave; cocirc;ng sai d của cấp số.

Giải:

Ta coacute; u_1=S_1=1 vagrave; u_1+u_2=S_2=8

Suy ra u_2=7

Vậy d=u_2-u_1=6.

2. c) Cho cấp số cộng (u_n ) coacute; S_n=7n-2n^2. Tiacute;nh giaacute; trị của biểu thức P=u_3^2+u_5^2+u_7^2.

Giải:

Ta coacute; u_n=S_n-S_(n-1)=9-4n

Suy ra u_3=-3,u_5=-11,u_7=-19

Do đoacute; P=491.

3. d) Cho cấp số cộng (u_n ) với {█( u_3+u_5=5@ u_3.u_5=6)┤. Tigrave;m số hạng đầu của cấp số cộng.

Giải:

Ta coacute; {█(u_3+u_5=5@u_3.u_5=6)┤hArr;{█(u_3=2@u_5=3)┤ hoặc {█(u_3=3@u_5=2)┤

Giải {█(u_3=2@u_5=3)┤, ta được u_1=1

Giải {█(u_3=3@u_5=2)┤, ta được u_1=4

Bagrave;i 6. Biết rằng tồn tại caacute;c giaacute; trị của xisin;[0;2pi;] để ba số 1+sin⁡x,〖sin〗^2⁡x,1+sin⁡3 x lập thagrave;nh một cấp số cộng, tiacute;nh tổng S caacute;c giaacute; trị đoacute; của x.

...