CHAgrave;O MỪNG CAacute;C EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

-Cho cấp số nhacirc;n coacute; số hạng đầu u_1=3, số hạng thứ hai

u_2=1/3." Xaacute;c định cocirc;ng bội vagrave; số hạng tổng quaacute;t của cấp "

"số nhacirc;n nagrave;y."

-Cho viacute; dụ về cấp số nhận coacute; cocirc;ng bội lagrave; số acirc;m.

CHƯƠNG II: DAtilde;Y SỐ.

CẤP SỐ CỘNG VAgrave; CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I 7: CẤP SỐ NHAcirc;N

HỆ THỐNG

KIẾN THỨC

1. Định nghĩa

-Cấp số nhacirc;n lagrave; một datilde;y số (hữu hạn hay vocirc; hạn), trong đoacute; kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều lagrave; tiacute;ch của số hạng đứng ngay trước noacute; với một số khocirc;ng đổi q.

Số q được gọi lagrave; cocirc;ng bội của cấp số nhacirc;n.

-Cấp số nhacirc;n (u_n ) với cocirc;ng bội q được cho bởi hệ thức truy hồi

u_n=u_(n-1)sdot;q" " v"ớ" i" " nge;2

2. Số hạng tổng quaacute;t

Nếu một cấp số nhacirc;n coacute; số hạng đầu u_1 vagrave; cocirc;ng bội q thigrave; số hạng tổng quaacute;t u_n của noacute; được xaacute;c định bởi cocirc;ng thức

u_n=u_1sdot;q^(n-1) " " v"ớ" i" " nge;2." "

Chuacute; yacute;:

Tiacute;nh chất: 〖u_k〗^2=u_(k-1).u_(k+1), forall;kge;2.

LUYỆN TẬP

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Xaacute;c định cấp số nhacirc;n vagrave; caacute;c yếu tố của cấp số nhacirc;n

Phương phaacute;p giải:

Để xaacute;c định một cấp số nhacirc;n ta xaacute;c định số hạng đầu vagrave; cocirc;ng bội.

Bagrave;i 1. a) Chứng minh rằng datilde;y số hữu hạn sau lagrave; một cấp số nhacirc;n

-4,-1,-1/4,-1/16,-1/64,-1/256

Giải:

 -1=-4. 1/4;  -1/4=-1. 1/4; emsp; -1/16=-1/4. 1/4; -1/64=-1/16. 1/4; emsp;-1/256=-1/64. 1/4

"Theo định nghĩa cấp số nhacirc;n datilde;y số" -4,-1,-1/4,-1/16,-1/64,-1/256 "lagrave; một cấp số nhacirc;n với"

"cocirc;ng bội" q=1/4.

3. b) Cho cấp số nhacirc;n (u_n ) coacute; số hạng đầu u_1=-1 vagrave; cocirc;ng bội q=-3. Viết 6 số hạng đầu của cấp số nhacirc;n vagrave; tiacute;nh tổng của 6 số hạng đoacute;.

Giải:

Ta coacute;  u_2=u_1 q=(-1)(-3)=3;emsp;emsp;emsp;  u_3=u_2 q⁡= 3(-3)=-9;

 u_4=u_3 q⁡= (-9)(-3)=27;emsp;emsp;emsp; u_5=u_4 q⁡= (27)(-3)=-81;emsp;emsp;

 u_6=u_5 q⁡= (-81)(-3)=243;emsp;

Tổng của 6 số hạng đầu tiecirc;n của cấp số nhacirc;n lagrave;

S_6=((-1).(1-3^6))/(1+3)=182

Bagrave;i 2. Trong caacute;c datilde;y số dưới đacirc;y, datilde;y số nagrave;o lagrave; cấp số nhacirc;n? Datilde;y nagrave;o khocirc;ng phải cấp số nhacirc;n? Giải thiacute;ch?

1. a) Datilde;y số (x_n ), với x_n=n^2; b) Datilde;y số (y_n ), với y_n=(radic;5)^(2n-3);

" c) Datilde;y số " (z_n )", với " z_n=2/n;" d) Datilde;y số " (w_n )", với" w_n=(3^n+1)/3^(n+1) .

Giải:

1. a) Ba số hạng đầu của datilde;y số (x_n ) lagrave; 1, 4, 9

Vigrave; 4=1.4;9ne;4.4 necirc;n datilde;y số (x_n ) khocirc;ng phải lagrave; cấp số nhacirc;n.

"b) Ta coacute; " y_(n+1)=(radic;5)^(2(n+1)-3)=(radic;5)^(2n-1) " necirc;n" y_(n+1)/y_n =(radic;5)^2=5 "(lagrave; số khocirc;ng đổi)"

Do đoacute;, (y_n ) phải lagrave; cấp số nhacirc;n với cocirc;ng bội q=5.

"c) Ta coacute; " z_(n+1)=2/(n+1) " necirc;n" z_(n+1)/z_n =n/(n+1) " (phụ thuộc vagrave;o" n", khocirc;ng phải lagrave; số khocirc;ng đổi)"

Do đoacute; (z_n ) khocirc;ng phải lagrave; một cấp số nhacirc;n.

"d) Ba số hạng đầu của datilde;y số " (w_n )" lagrave;" 4/9, 10/27, 28/81

"Vigrave; " 10/27=4/9sdot;5/6, 28/81ne;10/27sdot;5/6 " necirc;n datilde;y số" (w_n )" khocirc;ng phải lagrave; cấp số nhacirc;n. "

Bagrave;i 3. Cho cấp số nhacirc;n (u_n ) coacute; u_1=3 vagrave; q=2.

7. a) Tigrave;m u_7.
8. b) Số 12 288 lagrave; số hạng thứ bao nhiecirc;u của cấp số nhacirc;n đatilde; cho?

Giải:

3. a) Ta coacute; u_7=u_1 q^(7-1)=3.2^6=192
4. b) Số hạng tổng quaacute;t của cấp số nhacirc;n lagrave; u_n=u_1 q^(n-1)=3.2^(n-1)

Vigrave; u_n=12288 necirc;n 3.2^(n-1)=12288hArr;n=13

Bagrave;i 4.

6. a) Cho cấp số nhacirc;n (a_n ) coacute; a_1=3 vagrave; a_2=-6. Tigrave;m số hạng thứ mười của datilde;y.
   b) Cho datilde;y số (u_n ) xaacute;c định bởi u_1=3 vagrave; u_(n+1)=u_n/4,forall;nge;1. Tigrave;m số hạng tổng quaacute;t của datilde;y số.

Giải:

"a) Ta coacute; cocirc;ng bội của cấp số nhacirc;n lagrave;" q=a_2/a_1 =-2

Suy ra a_10=a_1.q^9=3.(-2)^9=-1536

"b) Ta coacute;: " u_(n+1)=u_n/4=1/4.u_n " necirc;n " (u_n )" lagrave; cấp số nhacirc;n coacute; cocirc;ng bội" q=1/4

"Suy ra số hạng tổng quaacute;t lagrave;" u_n=u_1.q^(n-1)=3.(1/4)^(n-1).

Bagrave;i 5. a) Cho cấp số nhacirc;n (x_n ) coacute; x_3=18 vagrave; x_7=1458. Tigrave;m số hạng tổng quaacute;t của cấp số nhacirc;n đoacute;.

Giải:

Gọi q lagrave; cocirc;ng bội của cấp số nhacirc;n (x_n )

Ta coacute; {■8(x_3=18@x_7=1458)┤hArr;{■8(x_1.q^2=18@x_1.q^6=1458)┤hArr;{■8(x_1.q^2=18@x_1.q^2 q^4=1458)hArr;{■8(x_1=2@q^2=9)┤┤hArr;{■8(x_1=2@q=plusmn;3)┤

• Với x_1=2 vagrave; q=3, ta coacute; số hạng tổng quaacute;t lagrave; x_n=x_1.q^(n-1)=2.3^(n-1)
• Với x_1=2 vagrave; q=-3, ta coacute; số hạng tổng quaacute;t lagrave; x_n=x_1.q^(n-1)=2.(-3)^(n-1).

1. b) Cho cấp số nhacirc;n (x_n ) coacute; {■8(x_2-x_4+x_5=10@x_3-x_5+x_6=20)┤. Tigrave;m x_1 vagrave; cocirc;ng bội

Giải:

Ta coacute;

{■8(x_2-x_4+x_5=10@x_3-x_5+x_6=20)┤hArr;{■8(x_2 (1-q^2+q^3 )=10@x_2 q(1-q^2+q^3 ) )┤hArr;{■8(x_2=2@q=2)┤

"Suy ra" x_1=x_2/q=1

27. c) Cho cấp số nhacirc;n (x_n ) coacute; x_2=-3 vagrave; x_4=-27. Tiacute;nh số hạng đầu x_1 vagrave; cocirc;ng bội q của cấp số nhacirc;n.

Giải:

Ta coacute; {█(x_2=-3@x_4=-27)┤ hArr;{█(x_1 q=-3@x_1 q^3=-27)┤

hArr;{█(x_1=-1@q=3)┤ hoặc {█(x_1=1@q=-3)┤.

32. d) Cho cấp số nhacirc;n (a_n ) coacute; a_3=8 vagrave; a_5=32. Tigrave;m số hạng thứ mười của cấp số nhacirc;n đoacute;.

Giải:

Ta coacute;: {█(a_3=8@a_5=32)┤ hArr;{█(a_1 q^2=8@a_1 q^4=32)┤ hArr;{█(a_1=2@q=2)┤ hoặc {█(a_1=2@q=-2)┤

Với a_1=2,q=2 thigrave; a_10=a_1 q^9=1024

Với a_1=2,q=-2 thigrave; a_10=a_1 q^9=-1024

Vậy a_10=plusmn;1024.

Bagrave;i 6. a) Một tứ giaacute;c lồi coacute; số đo caacute;c goacute;c lập thagrave;nh một cấp số nhacirc;n. Biết rằng số đo của goacute;c nhỏ nhất bằng 1/9 số đo của goacute;c nhỏ thứ ba. Hatilde;y tiacute;nh số đo của caacute;c goacute;c trong tứ giaacute;c đoacute;.

...