CHAgrave;O MỪNG CẢ LỚP

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HOcirc;M NAY!

KHỞI ĐỘNG

• Cho viacute; dụ về cấp số cộng vagrave; xaacute;c định số hạng đầu, cocirc;ng sai vagrave; số hạng tổng quaacute;t.
• Cho viacute; dụ về cấp số nhacirc;n vagrave; xaacute;c định số hạng đầu, cocirc;ng bội vagrave; số hạng tổng quaacute;t.

CHƯƠNG II: DAtilde;Y SỐ.

CẤP SỐ CỘNG VAgrave;

CẤP SỐ NHAcirc;N

BAgrave;I TẬP CUỐI CHƯƠNG II

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 1

Bagrave;i 1. Cho datilde;y số (u_n ) với u_n=n^2-4n+3.
a) Viết cocirc;ng thức truy hồi của datilde;y số; b) Chứng minh datilde;y số bị chặn dưới.

Giải:

1. a) Ta coacute; u_1=0

Xeacute;t hiệu u_(n+1)-u_n=(n+1)^2-4(n+1)+3-n^2+4n-3=2n-3

Vậy cocirc;ng thức truy hồi lagrave; {█(u_1=0@u_n+1=u_n+2n-3 với nge;1.)┤

1. b) u_n=n^2-4n+3=(n-2)^2-1ge;-1

Vậy datilde;y số (u_n ) bị chặn dưới nhưng khocirc;ng bị chặn trecirc;n.

Bagrave;i 2. Tigrave;m cấp số cộng (u_n ), biết {■(u_1+u_2+u_3=27@u_1^2+u_2^2+u_3^2=275)┤

Giải:

"Aacute;p dụng cocirc;ng thức " S_n=n(u_1+u_2 )/2 " tigrave;m được " u_1+u_3=18", suy ra" u_2=9

Thay u_2=9 vagrave;o hệ ta coacute;: {■(u_1+u_3=18@u_1^2+u_3^2=194)┤

Từ đacirc;y tigrave;m được u_1=5, u_3=13

Vậy cấp số cộng lagrave; 5, 9, 13 (u_1=5, cocirc;ng sai d=4).

Bagrave;i 3. Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vagrave;o một ngacirc;n hagrave;ng với latilde;i suất 7%/năm. Biết rằng nếu khocirc;ng ruacute;t tiền ra khỏi ngacirc;n hagrave;ng thigrave; cứ sau mỗi năm số tiền latilde;i được nhập vagrave;o vốn ban đầu (người ta gọi đoacute; lagrave; latilde;i keacute;p). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi khocirc;ng ruacute;t tiền ra vagrave; latilde;i suất khocirc;ng thay đổi, hỏi sau 10 năm thigrave; tổng số tiền cả vốn lẫn latilde;i magrave; người gửi nhận được bằng bao nhiecirc;u?

Giải:

Đặt M_0=10^8 (đồng) vagrave; r=7%=0,07

Gọi M_n lagrave; số tiền cả vốn lẫn latilde;i magrave; người gửi nhận được sau n năm

Theo giả thiết, ta coacute; M_(n+1)=M_n+M_n.r=M_n (1+r),forall;nge;1

Do đoacute; datilde;y số (M_n ) lagrave; cấp số nhacirc;n với số hạng đầu M_0 vagrave; cocirc;ng bội q=1+r

Suy ra M_n=M_0 (1+r)^n

Vigrave; vậy, sau 10 năm thigrave; tổng số tiền cả vốn lẫn latilde;i magrave; người gửi nhận được lagrave;

M_10=M_0 (1+r)^10=10^8.(1,07)^10asymp;196715000.

"Bagrave;i 4. Cho cấp số cộng " (u_n )", chứng minh rằng nếu " S_m/S_n =m^2/n^2 "thigrave;" □(u_m/u_n )=(2m-1)/(2n-1).

Giải:

"Ta coacute;" □(S_m=(2u_1+(m-1)d)/2 m); S_n=(2u_1+(n-1)d)/2 n

"Theo giả thiết" S_m/S_n =[2u_1+(m-1)d]m/[2u_1+(n-1)d]n=m^2/n^2

"Suy ra " (2u_1-d)(m-n)=0 ("với" mne;n)

"Từ đoacute;" □(u_1=d/2)

"Vậy" □(u_m/u_n =(u_1+(m-1)d)/(u_1+(n-1)d)=(d/2+(m-1)d)/(d/2+(n-1)d)=(2m-1)/(2n-1))

Bagrave;i 5. Cho cấp số nhacirc;n a,b,c,d. Chứng minh rằng

1. a) (b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=(a-d)^2;
2. b) (a+b+c)(a-b+c)=a^2+b^2+c^2.

Giải:

Ta coacute; b^2=ac;c^2=bd;ad=bc.

1. a) Biến đổi vế traacute;i

(b-c)^2+(c-a)^2+(d-b)^2=b^2+c^2-2bc+c^2-2ac+a^2+d^2-2bd+b^2

=a^2-2ad+d^2=(a-d)^2

1. b) (a+b+c)(a-b+c)=(a+c)^2-b^2=a^2+2ac+c^2-b^2

=a^2+c^2+2b^2-b^2

=a^2+b^2+c^2." "

PHIẾU BAgrave;I TẬP SỐ 2

Bagrave;i 1. Tigrave;m cấp số nhacirc;n (u_n ) biết {■(u_1+u_2+u_3+u_4=15@u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85)┤

"Ta thấy " qne;1". Khi đoacute;" (1)hArr;{■((u_1 (q^4-1))/(q-1)=15@(u_1^2 (q^8-1))/(q^2-1)=85)hArr;{■((u_1^2 (q^4-1)^2)/((q-1)^2 )=225@(u_1^2 (q^8-1))/(q^2-1)=85.)┤┤

Chia từng vế của hai phương trigrave;nh, ta được

((q^4-1)^2 (q^2-1))/((q-1)^2 (q^8-1) )=225/85hArr;((q+1)^2 (q^2+1))/(q^4+1)=45/17

hArr;14q^4-17q^3-17q^2-17q+14=0

"Chia hai vế của phương trigrave;nh cho " q^2 " vagrave; đặt" x=q+1/q ", ta coacute;"

14x^2-17x-45=0hArr;x_1=5/2;x_2=-9/7

"Ta coacute; hai phương trigrave;nh " q+1/q=-9/7 " " (v"ocirc;" nghi"ệ" m)" vagrave;" q+1/q=5/2

"Giải phương trigrave;nh nagrave;y tigrave;m được" q=2,q=1/2

Tương ứng coacute; u_1=1,u_1=8

"Vậy, ta coacute; hai cấp số nhacirc;n " 1,2,4,8,hellip;(u_1=1,q=2)" vagrave;" □( ) 8,4,2,1,hellip;(u_1=8,q=1/2).

Bagrave;i 2. Một cấp số cộng vagrave; một cấp số nhacirc;n đều lagrave; caacute;c datilde;y tăng. Caacute;c số hạng thứ nhất đều bằng 3, caacute;c số hạng thứ hai bằng nhau. Tỉ số giữa caacute;c số hạng thứ ba của cấp số nhacirc;n vagrave; cấp số cộng lagrave; 9/5. Tigrave;m hai cấp số ấy.

Giải:

Nếu coacute; cấp số cộng 3,u_2,u_3 thigrave; cấp số nhacirc;n lagrave; 3,u_2, (9u_3)/5

Theo tiacute;nh chất của caacute;c cấp số, ta coacute; u_2=(3+u_3)/2 " " v"agrave; " u_2^2=3sdot;(9u_3)/5 hay ((3+u_3)/2)^2=(27u_3)/5

Biến đổi đưa về phương trigrave;nh : 5u_3^2-78u_3+45=0 (u_3>3)

Giải ra ta coacute; u_3=15

Vậy caacute;c cấp số cần tigrave;m lagrave;: cấp số cộng □(3, 9, 15); cấp số nhacirc;n 3, 9, 27.

Bagrave;i 3. Cho bốn số nguyecirc;n dương, trong đoacute; ba số đầu lập thagrave;nh một cấp số cộng, ba số sau lập thagrave;nh một cấp số nhacirc;n. Biết rằng tổng của số hạng đầu vagrave; cuối lagrave; 37, tổng của hai số hạng giữa lagrave; 36, tigrave;m bốn số đoacute;.

Giải:

Gọi bốn số phải tigrave;m lagrave; u_1,u_2,u_3,u_4, ta coacute;

cấp số cộng u_2-d,u_2,u_2+d vagrave; cấp số nhacirc;n u_2,u_2 q,u_2 q^2

Theo giả thiết ta coacute; {■(2u_2+d=u_2 (1+q)=36 (1)@u_2-d+u_2 q^2=37 (2))┤

"Từ "(1)" suy ra" u_2=(36-d)/2=36/(1+q)rArr;d=36-72/(1+q) (3)

"Từ " (2)" suy ra" u_2=(37+d)/(1+q^2 )," " do "đoacute; " (37+d)/(1+q^2 )=36/(1+q) (4)

Thay d ở (3) vagrave;o hệ thức (4) vagrave; ruacute;t gọn, ta được phương trigrave;nh 36q^2-73q+35=0" "

"Giải ra được" q=5/4,q=7/9

"Vậy với " □(q=5/4) " thigrave;" u_2=36/(1+5/4)=16,u_3=16sdot;5/4=20,u_4=20sdot;5/4=25

vagrave; u_1=37-u_4=37-25=12

Bốn số cần tigrave;m lagrave; 12, 16, 20, 25.

Bagrave;i 4.

192. a) Cho cấp số nhacirc;n x,12,y,192. Tigrave;m x vagrave;
193. b) Cho cấp số nhacirc;n (u_n ) coacute; u_1=5,q=3 vagrave; S_n=200, tigrave;m n vagrave; u_n.
194. c) Cho cấp số nhacirc;n (u_n ) coacute; tổng n số hạng đầu tiecirc;n lagrave; S_n=5^n-1. Tigrave;m số hạng đầu u_1 vagrave; cocirc;ng bội q của cấp số nhacirc;n đoacute;.

Giải:

12. a) Theo tiacute;nh chất của cấp số nhacirc;n, ta coacute;: y^2=12.192=2304 rArr;y=plusmn;48

Cũng theo tiacute;nh chất của cấp số nhacirc;n, ta coacute;: xy=12^2=144

Với y=48 thigrave; x=3; với y=-48 thigrave; x=-3.

"b) Ta coacute;" S_n=u_1. (1-q^n)/(1-q) "necirc;n theo giả thiết, ta coacute;:"

5. (1-3^n)/(1-3)=200hArr;3^n=81hArr;n=4

Suy ra u_4=u_1.q^3=135.

1. c) Ta coacute; u_1=S_1=5-1=4 vagrave; u_2=S_2-S_1=(5^2-1)-(5-1)=20

Từ đoacute; u_1=4,q=5.

Bagrave;i 5. Biết rằng tồn tại hai giaacute; trị của tham số m để phương trigrave;nh sau coacute; bốn nghiệm phacirc;n biệt lập thagrave;nh một cấp số cộng: x^4-10x^2+2m^2+7m=0, tiacute;nh tổng lập phương của hai giaacute; trị đoacute;.

Giải:

Đặt t=x^2 (tge;0). Khi đoacute; ta coacute; phương trigrave;nh: t^2-10t+2m^2+7m=0 (lowast;)

Phương trigrave;nh đatilde; cho coacute; 4 nghiệm phacirc;n biệt khi vagrave; chỉ khi phương trigrave;nh (lowast;) coacute; 2 nghiệm dương phacirc;n biệt hArr;{█( 5^2-(2m^2+7m)>0@ 2m^2+7m>0)┤hArr;0<2m^2+7m<25

(do tổng hai nghiệm bằng 10>0 necirc;n khocirc;ng cần điều kiện nagrave;y)

Với điều kiện trecirc;n thigrave; (lowast;) coacute; hai nghiệm dương phacirc;n biệt lagrave; t_1,t_2 (t_1<t_2)

Khi đoacute; phương trigrave;nh đatilde; cho coacute; bốn nghiệm phacirc;n biệt lagrave; -radic;(t_2 );-radic;(t_1 );radic;(t_1 );radic;(t_2 )

Bốn nghiệm nagrave;y lập thagrave;nh một cấp số cộng khi

-radic;(t_1 )-(-radic;(t_2 ))=radic;(t_1 )-(-radic;(t_1 ))=radic;(t_2 )-radic;(t_1 )hArr;t_2=9t_1

Theo định lyacute; Vi-eacute;t ta coacute;: t_1+t_2=10;t_1.t_2=2m^2+7m

"Suy ra ta coacute; hệ phương trigrave;nh" {█( t_2=9t_1@ t_1+t_2=10@ t_1.t_2=2m^2+7m)┤hArr;{█( t_1=1@ t_2=9@ 2m^2+7m=9)┤rArr;[█( m=1@ m=-9/2)┤

Cả hai giaacute; trị nagrave;y đều thỏa matilde;n điều kiện necirc;n đều coacute; thể nhận được

"Do đoacute;" 1^3+(-9/2)^3=-721/8.

Bagrave;i 6. Trecirc;n một bagrave;n cờ coacute; nhiều ocirc; vuocirc;ng. Người ta đặt 7 hạt dẻ vagrave;o ocirc; vuocirc;ng đầu tiecirc;n, sau đoacute; đặt tiếp vagrave;o ocirc; thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ocirc; đầu tiecirc;n lagrave; 5, tiếp tục đặt vagrave;o ocirc; thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ocirc; thứ hai lagrave; 5, hellip; vagrave; cứ thế tiếp tục đến ocirc; cuối cugrave;ng. Biết rằng đặt hết số ocirc; trecirc;n bagrave;n cờ người ta đatilde; phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ. Hỏi bagrave;n cờ đoacute; coacute; bao nhiecirc;u ocirc;?

...